Terminale maths expertes

Graphes probabilistes, transitions et suites de matrices — 20 exercices

Relier les modèles probabilistes, graphes orientés, transitions et récurrences matricielles grâce à des études détaillées.

L'essentiel à retenir

  • Une matrice de transition par lignes possède des coefficients ≥0\ge0, avec chaque ligne de somme 1.
  • Pour un vecteur ligne de probabilités vnv_n, on a vn+1=vnPv_{n+1}=v_nP.
  • Une distribution stationnaire vérifie π=πP\pi=\pi P.
  • Une puissance MkM^k compte les marches de longueur kk quand MM est une matrice d'adjacence.

Exercice 1 — Transition entre deux états : matrice stochastique — 1

Une population passe d'un état A vers B avec la probabilité 0.2, et de B vers A avec la probabilité 0.3 à chaque étape.
  1. Écrire la matrice de transition (lignes = état initial).
  2. Calculer la distribution après deux étapes en partant de A.
  3. Trouver une distribution stationnaire.
Corrigé détaillé
1. La matrice stochastique est P=(0.80.20.30.7)P=\begin{pmatrix}0.8&0.2\\0.3&0.7\end{pmatrix} ; chaque ligne somme à 1. 2. Partant du vecteur ligne (1,0)(1,0), après deux étapes on a (1,0)P2=(0.7,0.3)(1,0)P^2=\boxed{(0.7,0.3)}. 3. À l'équilibre, le flux A-vers-B vaut le flux B-vers-A : aπA=bπBa\pi_A=b\pi_B et πA+πB=1\pi_A+\pi_B=1. Donc π=(0.6,0.4)\boxed{\pi=(0.6,0.4)}, ce qui vérifie πP=π\pi P=\pi.

Exercice 2 — Transition entre deux états : matrice stochastique — 2

Une population passe d'un état A vers B avec la probabilité 0.1, et de B vers A avec la probabilité 0.4 à chaque étape.
  1. Écrire la matrice de transition (lignes = état initial).
  2. Calculer la distribution après deux étapes en partant de A.
  3. Trouver une distribution stationnaire.
Corrigé détaillé
1. La matrice stochastique est P=(0.90.10.40.6)P=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.4&0.6\end{pmatrix} ; chaque ligne somme à 1. 2. Partant du vecteur ligne (1,0)(1,0), après deux étapes on a (1,0)P2=(0.85,0.15)(1,0)P^2=\boxed{(0.85,0.15)}. 3. À l'équilibre, le flux A-vers-B vaut le flux B-vers-A : aπA=bπBa\pi_A=b\pi_B et πA+πB=1\pi_A+\pi_B=1. Donc π=(0.8,0.2)\boxed{\pi=(0.8,0.2)}, ce qui vérifie πP=π\pi P=\pi.

Exercice 3 — Transition entre deux états : matrice stochastique — 3

Une population passe d'un état A vers B avec la probabilité 0.3, et de B vers A avec la probabilité 0.2 à chaque étape.
  1. Écrire la matrice de transition (lignes = état initial).
  2. Calculer la distribution après deux étapes en partant de A.
  3. Trouver une distribution stationnaire.
Corrigé détaillé
1. La matrice stochastique est P=(0.70.30.20.8)P=\begin{pmatrix}0.7&0.3\\0.2&0.8\end{pmatrix} ; chaque ligne somme à 1. 2. Partant du vecteur ligne (1,0)(1,0), après deux étapes on a (1,0)P2=(0.55,0.45)(1,0)P^2=\boxed{(0.55,0.45)}. 3. À l'équilibre, le flux A-vers-B vaut le flux B-vers-A : aπA=bπBa\pi_A=b\pi_B et πA+πB=1\pi_A+\pi_B=1. Donc π=(0.4,0.6)\boxed{\pi=(0.4,0.6)}, ce qui vérifie πP=π\pi P=\pi.

Exercice 4 — Transition entre deux états : matrice stochastique — 4

Une population passe d'un état A vers B avec la probabilité 0.4, et de B vers A avec la probabilité 0.1 à chaque étape.
  1. Écrire la matrice de transition (lignes = état initial).
  2. Calculer la distribution après deux étapes en partant de A.
  3. Trouver une distribution stationnaire.
Corrigé détaillé
1. La matrice stochastique est P=(0.60.40.10.9)P=\begin{pmatrix}0.6&0.4\\0.1&0.9\end{pmatrix} ; chaque ligne somme à 1. 2. Partant du vecteur ligne (1,0)(1,0), après deux étapes on a (1,0)P2=(0.4,0.6)(1,0)P^2=\boxed{(0.4,0.6)}. 3. À l'équilibre, le flux A-vers-B vaut le flux B-vers-A : aπA=bπBa\pi_A=b\pi_B et πA+πB=1\pi_A+\pi_B=1. Donc π=(0.2,0.8)\boxed{\pi=(0.2,0.8)}, ce qui vérifie πP=π\pi P=\pi.

Exercice 5 — Graphe orienté et matrice d'adjacence — 1

Sur A,B,C, un graphe orienté comporte les arcs A→B, B→C, C→A.
  1. Écrire sa matrice d'adjacence.
  2. Calculer son carré.
  3. Interpréter l'entrée (M2)1,3(M^2)_{1,3}.
Corrigé détaillé
1. La matrice MM met 1 quand un arc va du sommet de ligne à celui de colonne : M=(010001100)M=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}. 2. Par multiplication, M2=(001100010)M^2=\boxed{\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}. 3. L'entrée (M2)1,3=1(M^2)_{1,3}=1 compte les marches orientées de longueur 2 allant de A vers C, en choisissant un sommet intermédiaire compatible avec les arcs.

Exercice 6 — Graphe orienté et matrice d'adjacence — 2

Sur A,B,C, un graphe orienté comporte les arcs A→B, B→A, B→C.
  1. Écrire sa matrice d'adjacence.
  2. Calculer son carré.
  3. Interpréter l'entrée (M2)1,3(M^2)_{1,3}.
Corrigé détaillé
1. La matrice MM met 1 quand un arc va du sommet de ligne à celui de colonne : M=(010101000)M=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}. 2. Par multiplication, M2=(101010000)M^2=\boxed{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}. 3. L'entrée (M2)1,3=1(M^2)_{1,3}=1 compte les marches orientées de longueur 2 allant de A vers C, en choisissant un sommet intermédiaire compatible avec les arcs.

Exercice 7 — Graphe orienté et matrice d'adjacence — 3

Sur A,B,C, un graphe orienté comporte les arcs A→B, A→C, C→B.
  1. Écrire sa matrice d'adjacence.
  2. Calculer son carré.
  3. Interpréter l'entrée (M2)1,3(M^2)_{1,3}.
Corrigé détaillé
1. La matrice MM met 1 quand un arc va du sommet de ligne à celui de colonne : M=(011000010)M=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}. 2. Par multiplication, M2=(010000000)M^2=\boxed{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}. 3. L'entrée (M2)1,3=0(M^2)_{1,3}=0 compte les marches orientées de longueur 2 allant de A vers C, en choisissant un sommet intermédiaire compatible avec les arcs.

Exercice 8 — Graphe orienté et matrice d'adjacence — 4

Sur A,B,C, un graphe orienté comporte les arcs A→C, C→B, B→A, A→B.
  1. Écrire sa matrice d'adjacence.
  2. Calculer son carré.
  3. Interpréter l'entrée (M2)1,3(M^2)_{1,3}.
Corrigé détaillé
1. La matrice MM met 1 quand un arc va du sommet de ligne à celui de colonne : M=(011100010)M=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}. 2. Par multiplication, M2=(110011100)M^2=\boxed{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}}. 3. L'entrée (M2)1,3=0(M^2)_{1,3}=0 compte les marches orientées de longueur 2 allant de A vers C, en choisissant un sommet intermédiaire compatible avec les arcs.

Exercice 9 — Récurrence issue d'une chaîne de Markov — 1

La proportion unu_n dans l'état A vérifie un+1=0.8un+0.2(1−un)u_{n+1}=0.8u_n+0.2(1-u_n) avec u0=0u_0=0.
  1. Mettre la relation sous forme affine.
  2. Trouver le point fixe.
  3. Déterminer la limite et calculer u1u_1.
Corrigé détaillé
1. On développe : un+1=(0.8−0.2)un+0.2=0.6un+0.2u_{n+1}=(0.8-0.2)u_n+0.2=0.6u_n+0.2. 2. Le point fixe ℓ\ell résout ℓ=(0.8−0.2)ℓ+0.2\ell=(0.8-0.2)\ell+0.2, d'où ℓ=0.5\boxed{\ell=0.5}. 3. Avec vn=un−ℓv_n=u_n-\ell, vn+1=(0.6)vnv_{n+1}=(0.6)v_n. Comme ∣0.6∣<1|0.6|<1, un→ℓu_n\to\ell ; enfin u1=0.2u_1=\boxed{0.2}.

Exercice 10 — Récurrence issue d'une chaîne de Markov — 2

La proportion unu_n dans l'état A vérifie un+1=0.7un+0.4(1−un)u_{n+1}=0.7u_n+0.4(1-u_n) avec u0=1u_0=1.
  1. Mettre la relation sous forme affine.
  2. Trouver le point fixe.
  3. Déterminer la limite et calculer u1u_1.
Corrigé détaillé
1. On développe : un+1=(0.7−0.4)un+0.4=0.3un+0.4u_{n+1}=(0.7-0.4)u_n+0.4=0.3u_n+0.4. 2. Le point fixe ℓ\ell résout ℓ=(0.7−0.4)ℓ+0.4\ell=(0.7-0.4)\ell+0.4, d'où ℓ=0.57143\boxed{\ell=0.57143}. 3. Avec vn=un−ℓv_n=u_n-\ell, vn+1=(0.3)vnv_{n+1}=(0.3)v_n. Comme ∣0.3∣<1|0.3|<1, un→ℓu_n\to\ell ; enfin u1=0.7u_1=\boxed{0.7}.

Exercice 11 — Récurrence issue d'une chaîne de Markov — 3

La proportion unu_n dans l'état A vérifie un+1=0.9un+0.3(1−un)u_{n+1}=0.9u_n+0.3(1-u_n) avec u0=0.5u_0=0.5.
  1. Mettre la relation sous forme affine.
  2. Trouver le point fixe.
  3. Déterminer la limite et calculer u1u_1.
Corrigé détaillé
1. On développe : un+1=(0.9−0.3)un+0.3=0.6un+0.3u_{n+1}=(0.9-0.3)u_n+0.3=0.6u_n+0.3. 2. Le point fixe ℓ\ell résout ℓ=(0.9−0.3)ℓ+0.3\ell=(0.9-0.3)\ell+0.3, d'où ℓ=0.75\boxed{\ell=0.75}. 3. Avec vn=un−ℓv_n=u_n-\ell, vn+1=(0.6)vnv_{n+1}=(0.6)v_n. Comme ∣0.6∣<1|0.6|<1, un→ℓu_n\to\ell ; enfin u1=0.6u_1=\boxed{0.6}.

Exercice 12 — Récurrence issue d'une chaîne de Markov — 4

La proportion unu_n dans l'état A vérifie un+1=0.6un+0.1(1−un)u_{n+1}=0.6u_n+0.1(1-u_n) avec u0=0.2u_0=0.2.
  1. Mettre la relation sous forme affine.
  2. Trouver le point fixe.
  3. Déterminer la limite et calculer u1u_1.
Corrigé détaillé
1. On développe : un+1=(0.6−0.1)un+0.1=0.5un+0.1u_{n+1}=(0.6-0.1)u_n+0.1=0.5u_n+0.1. 2. Le point fixe ℓ\ell résout ℓ=(0.6−0.1)ℓ+0.1\ell=(0.6-0.1)\ell+0.1, d'où ℓ=0.2\boxed{\ell=0.2}. 3. Avec vn=un−ℓv_n=u_n-\ell, vn+1=(0.5)vnv_{n+1}=(0.5)v_n. Comme ∣0.5∣<1|0.5|<1, un→ℓu_n\to\ell ; enfin u1=0.2u_1=\boxed{0.2}.

Exercice 13 — Suite de Fibonacci et puissances matricielles — rang 3

On pose F=(1110)F=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} et la suite f0=0, f1=1, fk+2=fk+1+fkf_0=0,\ f_1=1,\ f_{k+2}=f_{k+1}+f_k.
  1. Montrer la relation (fk+2fk+1)=F(fk+1fk)\binom{f_{k+2}}{f_{k+1}}=F\binom{f_{k+1}}{f_k}.
  2. Calculer F3F^{3}.
  3. Retrouver deux nombres de Fibonacci.
Corrigé détaillé
1. Le produit matriciel donne (fk+1+fk,fk+1)T=(fk+2,fk+1)T(f_{k+1}+f_k,f_{k+1})^T=(f_{k+2},f_{k+1})^T. 2. Par produits successifs F3=(3221)F^{3}=\boxed{\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}}. 3. La formule Fn=(fn+1fnfnfn−1)F^n=\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_n\\f_n&f_{n-1}\end{pmatrix} donne ici f3=2f_3=2 et f4=3f_4=3, conformément à la récurrence.

Exercice 14 — Suite de Fibonacci et puissances matricielles — rang 4

On pose F=(1110)F=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} et la suite f0=0, f1=1, fk+2=fk+1+fkf_0=0,\ f_1=1,\ f_{k+2}=f_{k+1}+f_k.
  1. Montrer la relation (fk+2fk+1)=F(fk+1fk)\binom{f_{k+2}}{f_{k+1}}=F\binom{f_{k+1}}{f_k}.
  2. Calculer F4F^{4}.
  3. Retrouver deux nombres de Fibonacci.
Corrigé détaillé
1. Le produit matriciel donne (fk+1+fk,fk+1)T=(fk+2,fk+1)T(f_{k+1}+f_k,f_{k+1})^T=(f_{k+2},f_{k+1})^T. 2. Par produits successifs F4=(5332)F^{4}=\boxed{\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}}. 3. La formule Fn=(fn+1fnfnfn−1)F^n=\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_n\\f_n&f_{n-1}\end{pmatrix} donne ici f4=3f_4=3 et f5=5f_5=5, conformément à la récurrence.

Exercice 15 — Suite de Fibonacci et puissances matricielles — rang 5

On pose F=(1110)F=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} et la suite f0=0, f1=1, fk+2=fk+1+fkf_0=0,\ f_1=1,\ f_{k+2}=f_{k+1}+f_k.
  1. Montrer la relation (fk+2fk+1)=F(fk+1fk)\binom{f_{k+2}}{f_{k+1}}=F\binom{f_{k+1}}{f_k}.
  2. Calculer F5F^{5}.
  3. Retrouver deux nombres de Fibonacci.
Corrigé détaillé
1. Le produit matriciel donne (fk+1+fk,fk+1)T=(fk+2,fk+1)T(f_{k+1}+f_k,f_{k+1})^T=(f_{k+2},f_{k+1})^T. 2. Par produits successifs F5=(8553)F^{5}=\boxed{\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}}. 3. La formule Fn=(fn+1fnfnfn−1)F^n=\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_n\\f_n&f_{n-1}\end{pmatrix} donne ici f5=5f_5=5 et f6=8f_6=8, conformément à la récurrence.

Exercice 16 — Suite de Fibonacci et puissances matricielles — rang 6

On pose F=(1110)F=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} et la suite f0=0, f1=1, fk+2=fk+1+fkf_0=0,\ f_1=1,\ f_{k+2}=f_{k+1}+f_k.
  1. Montrer la relation (fk+2fk+1)=F(fk+1fk)\binom{f_{k+2}}{f_{k+1}}=F\binom{f_{k+1}}{f_k}.
  2. Calculer F6F^{6}.
  3. Retrouver deux nombres de Fibonacci.
Corrigé détaillé
1. Le produit matriciel donne (fk+1+fk,fk+1)T=(fk+2,fk+1)T(f_{k+1}+f_k,f_{k+1})^T=(f_{k+2},f_{k+1})^T. 2. Par produits successifs F6=(13885)F^{6}=\boxed{\begin{pmatrix}13&8\\8&5\end{pmatrix}}. 3. La formule Fn=(fn+1fnfnfn−1)F^n=\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_n\\f_n&f_{n-1}\end{pmatrix} donne ici f6=8f_6=8 et f7=13f_7=13, conformément à la récurrence.

Exercice 17 — Dénombrer des marches de longueur trois — 1

Un graphe orienté à sommets A,B,C possède les arcs A→B, B→C, C→A.
  1. Construire la matrice d'adjacence.
  2. Calculer M3M^3.
  3. Combien de marches de longueur 3 mènent de A à C ?
Corrigé détaillé
1. La matrice est M=(010001100)M=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}, les entrées correspondant aux arcs orientés. 2. Deux multiplications donnent M3=(100010001)M^3=\boxed{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}. 3. L'entrée ligne 1, colonne 3 de cette puissance vaut 0\boxed{0}, nombre de marches orientées de longueur 3 de A à C. La propriété suit de la définition du produit matriciel.

Exercice 18 — Dénombrer des marches de longueur trois — 2

Un graphe orienté à sommets A,B,C possède les arcs A→B, B→A, B→C, C→B.
  1. Construire la matrice d'adjacence.
  2. Calculer M3M^3.
  3. Combien de marches de longueur 3 mènent de A à C ?
Corrigé détaillé
1. La matrice est M=(010101010)M=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}, les entrées correspondant aux arcs orientés. 2. Deux multiplications donnent M3=(020202020)M^3=\boxed{\begin{pmatrix}0&2&0\\2&0&2\\0&2&0\end{pmatrix}}. 3. L'entrée ligne 1, colonne 3 de cette puissance vaut 0\boxed{0}, nombre de marches orientées de longueur 3 de A à C. La propriété suit de la définition du produit matriciel.

Exercice 19 — Dénombrer des marches de longueur trois — 3

Un graphe orienté à sommets A,B,C possède les arcs A→B, A→C, B→C, C→A.
  1. Construire la matrice d'adjacence.
  2. Calculer M3M^3.
  3. Combien de marches de longueur 3 mènent de A à C ?
Corrigé détaillé
1. La matrice est M=(011001100)M=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}, les entrées correspondant aux arcs orientés. 2. Deux multiplications donnent M3=(111011101)M^3=\boxed{\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}. 3. L'entrée ligne 1, colonne 3 de cette puissance vaut 1\boxed{1}, nombre de marches orientées de longueur 3 de A à C. La propriété suit de la définition du produit matriciel.

Exercice 20 — Dénombrer des marches de longueur trois — 4

Un graphe orienté à sommets A,B,C possède les arcs A→B, B→C, C→B, C→A.
  1. Construire la matrice d'adjacence.
  2. Calculer M3M^3.
  3. Combien de marches de longueur 3 mènent de A à C ?
Corrigé détaillé
1. La matrice est M=(010001110)M=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}, les entrées correspondant aux arcs orientés. 2. Deux multiplications donnent M3=(110011111)M^3=\boxed{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}. 3. L'entrée ligne 1, colonne 3 de cette puissance vaut 0\boxed{0}, nombre de marches orientées de longueur 3 de A à C. La propriété suit de la définition du produit matriciel.

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