Terminale maths expertes

Complexes : module, argument et forme exponentielle — 20 exercices

Du passage entre les formes d'un complexe aux puissances et aux arguments, avec démonstrations utilisant la formule de Moivre.

L'essentiel à retenir

  • Tout complexe non nul s'écrit z=reiθ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta) avec r=∣z∣>0r=|z|>0.
  • eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)} et (reiθ)n=rneinθ(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}.
  • Les arguments sont définis modulo 2π2\pi, et reiθ‾=re−iθ\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta}.

Exercice 1 — Forme exponentielle d'un complexe — cas 1

On considère z=1+iz=1+i.
  1. Calculer ∣z∣|z|.
  2. Déterminer un argument θ\theta sur ]−π,π]]-\pi,\pi].
  3. En déduire z4z^4 par la formule de Moivre.
Corrigé détaillé
1. Les coordonnées du complexe sont (±1,±1)(\pm1,\pm1), donc ∣z∣=1+1=2|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2. 2. L'angle du point se lit dans son quadrant ; un argument principal est θ=π4\boxed{\theta=\frac{\pi}{4}}. 3. Par Moivre, z4=(2)4e4iθ=4e4i(π4)z^4=(\sqrt2)^4e^{4i\theta}=\boxed{4e^{4i(\frac{\pi}{4})}}. La valeur est une forme exponentielle exacte, que l'on peut ramener à un réel suivant le quadrant.

Exercice 2 — Forme exponentielle d'un complexe — cas 2

On considère z=−1+iz=-1+i.
  1. Calculer ∣z∣|z|.
  2. Déterminer un argument θ\theta sur ]−π,π]]-\pi,\pi].
  3. En déduire z4z^4 par la formule de Moivre.
Corrigé détaillé
1. Les coordonnées du complexe sont (±1,±1)(\pm1,\pm1), donc ∣z∣=1+1=2|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2. 2. L'angle du point se lit dans son quadrant ; un argument principal est θ=3π4\boxed{\theta=\frac{3\pi}{4}}. 3. Par Moivre, z4=(2)4e4iθ=4e4i(3π4)z^4=(\sqrt2)^4e^{4i\theta}=\boxed{4e^{4i(\frac{3\pi}{4})}}. La valeur est une forme exponentielle exacte, que l'on peut ramener à un réel suivant le quadrant.

Exercice 3 — Forme exponentielle d'un complexe — cas 3

On considère z=−1−iz=-1-i.
  1. Calculer ∣z∣|z|.
  2. Déterminer un argument θ\theta sur ]−π,π]]-\pi,\pi].
  3. En déduire z4z^4 par la formule de Moivre.
Corrigé détaillé
1. Les coordonnées du complexe sont (±1,±1)(\pm1,\pm1), donc ∣z∣=1+1=2|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2. 2. L'angle du point se lit dans son quadrant ; un argument principal est θ=−3π4\boxed{\theta=-\frac{3\pi}{4}}. 3. Par Moivre, z4=(2)4e4iθ=4e4i(−3π4)z^4=(\sqrt2)^4e^{4i\theta}=\boxed{4e^{4i(-\frac{3\pi}{4})}}. La valeur est une forme exponentielle exacte, que l'on peut ramener à un réel suivant le quadrant.

Exercice 4 — Forme exponentielle d'un complexe — cas 4

On considère z=1−iz=1-i.
  1. Calculer ∣z∣|z|.
  2. Déterminer un argument θ\theta sur ]−π,π]]-\pi,\pi].
  3. En déduire z4z^4 par la formule de Moivre.
Corrigé détaillé
1. Les coordonnées du complexe sont (±1,±1)(\pm1,\pm1), donc ∣z∣=1+1=2|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2. 2. L'angle du point se lit dans son quadrant ; un argument principal est θ=−π4\boxed{\theta=-\frac{\pi}{4}}. 3. Par Moivre, z4=(2)4e4iθ=4e4i(−π4)z^4=(\sqrt2)^4e^{4i\theta}=\boxed{4e^{4i(-\frac{\pi}{4})}}. La valeur est une forme exponentielle exacte, que l'on peut ramener à un réel suivant le quadrant.

Exercice 5 — Produit en forme exponentielle — paramètres 1

Soient z=2eiπ/3z=2e^{i\pi/3} et w=1e−iπ/6w=1e^{-i\pi/6}.
  1. Donner ∣zw∣|zw|.
  2. Trouver un argument de zwzw.
  3. Déterminer z/wz/w en forme exponentielle.
Corrigé détaillé
1. Les modules se multiplient : ∣zw∣=2×1=2|zw|=2\times1=2. 2. Les arguments s'ajoutent modulo 2π2\pi : π/3−π/6=π/6\pi/3-\pi/6=\pi/6, donc zw=2eiπ/6\boxed{zw=2e^{i\pi/6}}. 3. Dans un quotient, les arguments se soustraient et les modules se divisent : zw=21eiπ/2\boxed{\frac zw=\frac{2}{1}e^{i\pi/2}}. Cette expression correspond à un imaginaire pur positif.

Exercice 6 — Produit en forme exponentielle — paramètres 2

Soient z=3eiπ/3z=3e^{i\pi/3} et w=2e−iπ/6w=2e^{-i\pi/6}.
  1. Donner ∣zw∣|zw|.
  2. Trouver un argument de zwzw.
  3. Déterminer z/wz/w en forme exponentielle.
Corrigé détaillé
1. Les modules se multiplient : ∣zw∣=3×2=6|zw|=3\times2=6. 2. Les arguments s'ajoutent modulo 2π2\pi : π/3−π/6=π/6\pi/3-\pi/6=\pi/6, donc zw=6eiπ/6\boxed{zw=6e^{i\pi/6}}. 3. Dans un quotient, les arguments se soustraient et les modules se divisent : zw=32eiπ/2\boxed{\frac zw=\frac{3}{2}e^{i\pi/2}}. Cette expression correspond à un imaginaire pur positif.

Exercice 7 — Produit en forme exponentielle — paramètres 3

Soient z=4eiπ/3z=4e^{i\pi/3} et w=3e−iπ/6w=3e^{-i\pi/6}.
  1. Donner ∣zw∣|zw|.
  2. Trouver un argument de zwzw.
  3. Déterminer z/wz/w en forme exponentielle.
Corrigé détaillé
1. Les modules se multiplient : ∣zw∣=4×3=12|zw|=4\times3=12. 2. Les arguments s'ajoutent modulo 2π2\pi : π/3−π/6=π/6\pi/3-\pi/6=\pi/6, donc zw=12eiπ/6\boxed{zw=12e^{i\pi/6}}. 3. Dans un quotient, les arguments se soustraient et les modules se divisent : zw=43eiπ/2\boxed{\frac zw=\frac{4}{3}e^{i\pi/2}}. Cette expression correspond à un imaginaire pur positif.

Exercice 8 — Produit en forme exponentielle — paramètres 4

Soient z=5eiπ/3z=5e^{i\pi/3} et w=4e−iπ/6w=4e^{-i\pi/6}.
  1. Donner ∣zw∣|zw|.
  2. Trouver un argument de zwzw.
  3. Déterminer z/wz/w en forme exponentielle.
Corrigé détaillé
1. Les modules se multiplient : ∣zw∣=5×4=20|zw|=5\times4=20. 2. Les arguments s'ajoutent modulo 2π2\pi : π/3−π/6=π/6\pi/3-\pi/6=\pi/6, donc zw=20eiπ/6\boxed{zw=20e^{i\pi/6}}. 3. Dans un quotient, les arguments se soustraient et les modules se divisent : zw=54eiπ/2\boxed{\frac zw=\frac{5}{4}e^{i\pi/2}}. Cette expression correspond à un imaginaire pur positif.

Exercice 9 — Puissance de Moivre — variante 1

Soit z=2(cos⁡(π/3)+isin⁡(π/3))z=2\big(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\big).
  1. Calculer z3z^{3}.
  2. Calculer ∣z3∣|z^{3}|.
  3. Identifier sa partie imaginaire.
Corrigé détaillé
1. La formule de Moivre donne z3=23(cos⁡π+isin⁡π)=−8z^{3}=2^{3}(\cos\pi+i\sin\pi)=-8. 2. Son module est 8. 3. La partie imaginaire est nulle ; la puissance est un réel strictement négatif, ce qui est cohérent avec l'argument π\pi obtenu après multiplication de l'angle par 3.

Exercice 10 — Puissance de Moivre — variante 2

Soit z=3(cos⁡(π/4)+isin⁡(π/4))z=3\big(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4)\big).
  1. Calculer z4z^{4}.
  2. Calculer ∣z4∣|z^{4}|.
  3. Identifier sa partie imaginaire.
Corrigé détaillé
1. La formule de Moivre donne z4=34(cos⁡π+isin⁡π)=−81z^{4}=3^{4}(\cos\pi+i\sin\pi)=-81. 2. Son module est 81. 3. La partie imaginaire est nulle ; la puissance est un réel strictement négatif, ce qui est cohérent avec l'argument π\pi obtenu après multiplication de l'angle par 4.

Exercice 11 — Puissance de Moivre — variante 3

Soit z=4(cos⁡(π/6)+isin⁡(π/6))z=4\big(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)\big).
  1. Calculer z6z^{6}.
  2. Calculer ∣z6∣|z^{6}|.
  3. Identifier sa partie imaginaire.
Corrigé détaillé
1. La formule de Moivre donne z6=46(cos⁡π+isin⁡π)=−4096z^{6}=4^{6}(\cos\pi+i\sin\pi)=-4096. 2. Son module est 4096. 3. La partie imaginaire est nulle ; la puissance est un réel strictement négatif, ce qui est cohérent avec l'argument π\pi obtenu après multiplication de l'angle par 6.

Exercice 12 — Puissance de Moivre — variante 4

Soit z=5(cos⁡(π/8)+isin⁡(π/8))z=5\big(\cos(\pi/8)+i\sin(\pi/8)\big).
  1. Calculer z8z^{8}.
  2. Calculer ∣z8∣|z^{8}|.
  3. Identifier sa partie imaginaire.
Corrigé détaillé
1. La formule de Moivre donne z8=58(cos⁡π+isin⁡π)=−390625z^{8}=5^{8}(\cos\pi+i\sin\pi)=-390625. 2. Son module est 390625. 3. La partie imaginaire est nulle ; la puissance est un réel strictement négatif, ce qui est cohérent avec l'argument π\pi obtenu après multiplication de l'angle par 8.

Exercice 13 — Racines d'une équation en forme trigonométrique — 1

Résoudre dans C\mathbb C l'équation z2=1z^{2}=1.
  1. Écrire le membre droit sous forme exponentielle.
  2. Déterminer les 2 solutions.
  3. Expliquer leur disposition sur un cercle.
Corrigé détaillé
1. 1=12ei2kπ1=1^{2}e^{i2k\pi}. 2. Les solutions sont zk=1e2ikπ/2,k=0,…,1\boxed{z_k=1e^{2ik\pi/2},\quad k=0,\ldots,1}. En effet leur puissance 2-ième vaut 1. 3. Elles ont toutes pour module 1 et sont équidistantes en angle de 2π/22\pi/2 : ce sont deux points diamétralement opposés du cercle.

Exercice 14 — Racines d'une équation en forme trigonométrique — 2

Résoudre dans C\mathbb C l'équation z3=8z^{3}=8.
  1. Écrire le membre droit sous forme exponentielle.
  2. Déterminer les 3 solutions.
  3. Expliquer leur disposition sur un cercle.
Corrigé détaillé
1. 8=23ei2kπ8=2^{3}e^{i2k\pi}. 2. Les solutions sont zk=2e2ikπ/3,k=0,…,2\boxed{z_k=2e^{2ik\pi/3},\quad k=0,\ldots,2}. En effet leur puissance 3-ième vaut 8. 3. Elles ont toutes pour module 2 et sont équidistantes en angle de 2π/32\pi/3 : ce sont les sommets d'un polygone régulier à 3 côtés.

Exercice 15 — Racines d'une équation en forme trigonométrique — 3

Résoudre dans C\mathbb C l'équation z4=81z^{4}=81.
  1. Écrire le membre droit sous forme exponentielle.
  2. Déterminer les 4 solutions.
  3. Expliquer leur disposition sur un cercle.
Corrigé détaillé
1. 81=34ei2kπ81=3^{4}e^{i2k\pi}. 2. Les solutions sont zk=3e2ikπ/4,k=0,…,3\boxed{z_k=3e^{2ik\pi/4},\quad k=0,\ldots,3}. En effet leur puissance 4-ième vaut 81. 3. Elles ont toutes pour module 3 et sont équidistantes en angle de 2π/42\pi/4 : ce sont les sommets d'un polygone régulier à 4 côtés.

Exercice 16 — Racines d'une équation en forme trigonométrique — 4

Résoudre dans C\mathbb C l'équation z6=4096z^{6}=4096.
  1. Écrire le membre droit sous forme exponentielle.
  2. Déterminer les 6 solutions.
  3. Expliquer leur disposition sur un cercle.
Corrigé détaillé
1. 4096=46ei2kπ4096=4^{6}e^{i2k\pi}. 2. Les solutions sont zk=4e2ikπ/6,k=0,…,5\boxed{z_k=4e^{2ik\pi/6},\quad k=0,\ldots,5}. En effet leur puissance 6-ième vaut 4096. 3. Elles ont toutes pour module 4 et sont équidistantes en angle de 2π/62\pi/6 : ce sont les sommets d'un polygone régulier à 6 côtés.

Exercice 17 — Arguments, conjugué et inverse — cas 1

Soit z=2ei(π6)z=2e^{i(\frac{\pi}{6})}.
  1. Calculer 1/z1/z et z‾\overline z sous forme exponentielle.
  2. Déterminer leurs modules.
  3. Vérifier que zz‾z\overline z est réel.
Corrigé détaillé
1. L'inverse d'un nombre de module 2 possède le module 1/21/2 et l'argument opposé : 1/z=12e−i(π6)\boxed{1/z=\frac1{2}e^{-i(\frac{\pi}{6})}}. Le conjugué est z‾=2e−i(π6)\boxed{\overline z=2e^{-i(\frac{\pi}{6})}}. 2. Leurs modules respectifs valent 1/21/2 et 2. 3. zz‾=22ei0=4=∣z∣2z\overline z=2^2e^{i0}=4=|z|^2, réel positif.

Exercice 18 — Arguments, conjugué et inverse — cas 2

Soit z=3ei(π4)z=3e^{i(\frac{\pi}{4})}.
  1. Calculer 1/z1/z et z‾\overline z sous forme exponentielle.
  2. Déterminer leurs modules.
  3. Vérifier que zz‾z\overline z est réel.
Corrigé détaillé
1. L'inverse d'un nombre de module 3 possède le module 1/31/3 et l'argument opposé : 1/z=13e−i(π4)\boxed{1/z=\frac1{3}e^{-i(\frac{\pi}{4})}}. Le conjugué est z‾=3e−i(π4)\boxed{\overline z=3e^{-i(\frac{\pi}{4})}}. 2. Leurs modules respectifs valent 1/31/3 et 3. 3. zz‾=32ei0=9=∣z∣2z\overline z=3^2e^{i0}=9=|z|^2, réel positif.

Exercice 19 — Arguments, conjugué et inverse — cas 3

Soit z=4ei(π3)z=4e^{i(\frac{\pi}{3})}.
  1. Calculer 1/z1/z et z‾\overline z sous forme exponentielle.
  2. Déterminer leurs modules.
  3. Vérifier que zz‾z\overline z est réel.
Corrigé détaillé
1. L'inverse d'un nombre de module 4 possède le module 1/41/4 et l'argument opposé : 1/z=14e−i(π3)\boxed{1/z=\frac1{4}e^{-i(\frac{\pi}{3})}}. Le conjugué est z‾=4e−i(π3)\boxed{\overline z=4e^{-i(\frac{\pi}{3})}}. 2. Leurs modules respectifs valent 1/41/4 et 4. 3. zz‾=42ei0=16=∣z∣2z\overline z=4^2e^{i0}=16=|z|^2, réel positif.

Exercice 20 — Arguments, conjugué et inverse — cas 4

Soit z=5ei(2π3)z=5e^{i(\frac{2\pi}{3})}.
  1. Calculer 1/z1/z et z‾\overline z sous forme exponentielle.
  2. Déterminer leurs modules.
  3. Vérifier que zz‾z\overline z est réel.
Corrigé détaillé
1. L'inverse d'un nombre de module 5 possède le module 1/51/5 et l'argument opposé : 1/z=15e−i(2π3)\boxed{1/z=\frac1{5}e^{-i(\frac{2\pi}{3})}}. Le conjugué est z‾=5e−i(2π3)\boxed{\overline z=5e^{-i(\frac{2\pi}{3})}}. 2. Leurs modules respectifs valent 1/51/5 et 5. 3. zz‾=52ei0=25=∣z∣2z\overline z=5^2e^{i0}=25=|z|^2, réel positif.

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