Terminale maths expertes

Arithmétique : divisibilité et congruences — 20 exercices

Maîtriser la division euclidienne, les classes modulo n, les cycles des puissances et les équations de congruence.

L'essentiel à retenir

  • Pour b>0b>0, la division euclidienne écrit a=bq+ra=bq+r avec 0≤r<b0\le r<b.
  • a≡b(modn)a\equiv b\pmod n signifie que nn divise a−ba-b.
  • On peut additionner et multiplier des congruences de même module.
  • Un entier aa est inversible modulo nn si et seulement si gcd⁡(a,n)=1\gcd(a,n)=1.

Exercice 1 — Division euclidienne dans les entiers — 1

Effectuer la division euclidienne de 137 par 12.
  1. Déterminer le quotient qq et le reste rr.
  2. Vérifier 0≤r<120\le r<12.
  3. Écrire la congruence correspondante.
Corrigé détaillé
1. Le plus grand multiple de 12 inférieur ou égal à 137 est 12\times11=132. Il reste 137-132=5. 2. On a bien 0≤5<120\le5<12. 3. L'égalité est 137=12×11+5\boxed{137=12\times11+5} ; sa traduction en congruence est 137≡5(mod12)\boxed{137\equiv5\pmod{12}}.

Exercice 2 — Division euclidienne dans les entiers — 2

Effectuer la division euclidienne de 205 par 17.
  1. Déterminer le quotient qq et le reste rr.
  2. Vérifier 0≤r<170\le r<17.
  3. Écrire la congruence correspondante.
Corrigé détaillé
1. Le plus grand multiple de 17 inférieur ou égal à 205 est 17\times12=204. Il reste 205-204=1. 2. On a bien 0≤1<170\le1<17. 3. L'égalité est 205=17×12+1\boxed{205=17\times12+1} ; sa traduction en congruence est 205≡1(mod17)\boxed{205\equiv1\pmod{17}}.

Exercice 3 — Division euclidienne dans les entiers — 3

Effectuer la division euclidienne de 341 par 19.
  1. Déterminer le quotient qq et le reste rr.
  2. Vérifier 0≤r<190\le r<19.
  3. Écrire la congruence correspondante.
Corrigé détaillé
1. Le plus grand multiple de 19 inférieur ou égal à 341 est 19\times17=323. Il reste 341-323=18. 2. On a bien 0≤18<190\le18<19. 3. L'égalité est 341=19×17+18\boxed{341=19\times17+18} ; sa traduction en congruence est 341≡18(mod19)\boxed{341\equiv18\pmod{19}}.

Exercice 4 — Division euclidienne dans les entiers — 4

Effectuer la division euclidienne de 504 par 23.
  1. Déterminer le quotient qq et le reste rr.
  2. Vérifier 0≤r<230\le r<23.
  3. Écrire la congruence correspondante.
Corrigé détaillé
1. Le plus grand multiple de 23 inférieur ou égal à 504 est 23\times21=483. Il reste 504-483=21. 2. On a bien 0≤21<230\le21<23. 3. L'égalité est 504=23×21+21\boxed{504=23\times21+21} ; sa traduction en congruence est 504≡21(mod23)\boxed{504\equiv21\pmod{23}}.

Exercice 5 — Puissances modulo un entier — cas 1

Calculer le reste de 2^{17} dans la division par 7.
  1. Rechercher une périodicité des puissances modulo 7.
  2. Réduire l'exposant.
  3. En déduire la congruence finale.
Corrigé détaillé
1. En calculant les puissances successives modulo 7, on trouve 2^{3}\equiv1\pmod{7}. 2. L'exposant s'écrit 17=3\times5+2 ; donc 2^{17}=(2^{3})^{5}2^{2}\equiv2^{2}\pmod{7}. 3. Ce dernier reste vaut 4, d'où 217≡4(mod7)\boxed{2^{17}\equiv4\pmod{7}}.

Exercice 6 — Puissances modulo un entier — cas 2

Calculer le reste de 3^{20} dans la division par 7.
  1. Rechercher une périodicité des puissances modulo 7.
  2. Réduire l'exposant.
  3. En déduire la congruence finale.
Corrigé détaillé
1. En calculant les puissances successives modulo 7, on trouve 3^{6}\equiv1\pmod{7}. 2. L'exposant s'écrit 20=6\times3+2 ; donc 3^{20}=(3^{6})^{3}3^{2}\equiv3^{2}\pmod{7}. 3. Ce dernier reste vaut 2, d'où 320≡2(mod7)\boxed{3^{20}\equiv2\pmod{7}}.

Exercice 7 — Puissances modulo un entier — cas 3

Calculer le reste de 5^{27} dans la division par 11.
  1. Rechercher une périodicité des puissances modulo 11.
  2. Réduire l'exposant.
  3. En déduire la congruence finale.
Corrigé détaillé
1. En calculant les puissances successives modulo 11, on trouve 5^{5}\equiv1\pmod{11}. 2. L'exposant s'écrit 27=5\times5+2 ; donc 5^{27}=(5^{5})^{5}5^{2}\equiv5^{2}\pmod{11}. 3. Ce dernier reste vaut 3, d'où 527≡3(mod11)\boxed{5^{27}\equiv3\pmod{11}}.

Exercice 8 — Puissances modulo un entier — cas 4

Calculer le reste de 7^{35} dans la division par 13.
  1. Rechercher une périodicité des puissances modulo 13.
  2. Réduire l'exposant.
  3. En déduire la congruence finale.
Corrigé détaillé
1. En calculant les puissances successives modulo 13, on trouve 7^{12}\equiv1\pmod{13}. 2. L'exposant s'écrit 35=12\times2+11 ; donc 7^{35}=(7^{12})^{2}7^{11}\equiv7^{11}\pmod{13}. 3. Ce dernier reste vaut 2, d'où 735≡2(mod13)\boxed{7^{35}\equiv2\pmod{13}}.

Exercice 9 — Résolution d'une congruence linéaire — cas 1

Résoudre dans Z\mathbb Z : 2x\equiv3\pmod{11}.
  1. Chercher l'inverse de 2 modulo 11.
  2. Isoler la classe de xx.
  3. Écrire toutes les solutions entières.
Corrigé détaillé
1. Comme gcd⁡(2,11)=1\gcd(2,11)=1, 2 admet un inverse modulo 11 ; on vérifie 2\times6\equiv1\pmod{11}. 2. Multiplier la congruence initiale par 6 donne x≡6×3≡7(mod11)x\equiv6\times3\equiv7\pmod{11}. 3. L'ensemble solution est x=7+11k, k∈Z\boxed{x=7+11k,\ k\in\mathbb Z}.

Exercice 10 — Résolution d'une congruence linéaire — cas 2

Résoudre dans Z\mathbb Z : 3x\equiv4\pmod{11}.
  1. Chercher l'inverse de 3 modulo 11.
  2. Isoler la classe de xx.
  3. Écrire toutes les solutions entières.
Corrigé détaillé
1. Comme gcd⁡(3,11)=1\gcd(3,11)=1, 3 admet un inverse modulo 11 ; on vérifie 3\times4\equiv1\pmod{11}. 2. Multiplier la congruence initiale par 4 donne x≡4×4≡5(mod11)x\equiv4\times4\equiv5\pmod{11}. 3. L'ensemble solution est x=5+11k, k∈Z\boxed{x=5+11k,\ k\in\mathbb Z}.

Exercice 11 — Résolution d'une congruence linéaire — cas 3

Résoudre dans Z\mathbb Z : 5x\equiv6\pmod{11}.
  1. Chercher l'inverse de 5 modulo 11.
  2. Isoler la classe de xx.
  3. Écrire toutes les solutions entières.
Corrigé détaillé
1. Comme gcd⁡(5,11)=1\gcd(5,11)=1, 5 admet un inverse modulo 11 ; on vérifie 5\times9\equiv1\pmod{11}. 2. Multiplier la congruence initiale par 9 donne x≡9×6≡10(mod11)x\equiv9\times6\equiv10\pmod{11}. 3. L'ensemble solution est x=10+11k, k∈Z\boxed{x=10+11k,\ k\in\mathbb Z}.

Exercice 12 — Résolution d'une congruence linéaire — cas 4

Résoudre dans Z\mathbb Z : 7x\equiv8\pmod{11}.
  1. Chercher l'inverse de 7 modulo 11.
  2. Isoler la classe de xx.
  3. Écrire toutes les solutions entières.
Corrigé détaillé
1. Comme gcd⁡(7,11)=1\gcd(7,11)=1, 7 admet un inverse modulo 11 ; on vérifie 7\times8\equiv1\pmod{11}. 2. Multiplier la congruence initiale par 8 donne x≡8×8≡9(mod11)x\equiv8\times8\equiv9\pmod{11}. 3. L'ensemble solution est x=9+11k, k∈Z\boxed{x=9+11k,\ k\in\mathbb Z}.

Exercice 13 — Chiffre des unités d'une grande puissance — cas 1

Quel est le chiffre des unités de 2^{2026} ?
  1. Étudier le cycle des derniers chiffres de 2^k.
  2. Réduire l'exposant modulo la période.
  3. Conclure sans calculer la puissance entière.
Corrigé détaillé
1. Cycle. Les chiffres des unités des puissances de 2 se répètent avec une période 4. 2. 2026≡2(mod4)2026\equiv2\pmod{4} ; la puissance cherchée a donc le même dernier chiffre que 222^{2}. 3. Résultat. En calculant cette petite puissance modulo 10, on trouve 4\boxed{4} comme chiffre des unités de 220262^{2026}.

Exercice 14 — Chiffre des unités d'une grande puissance — cas 2

Quel est le chiffre des unités de 3^{123} ?
  1. Étudier le cycle des derniers chiffres de 3^k.
  2. Réduire l'exposant modulo la période.
  3. Conclure sans calculer la puissance entière.
Corrigé détaillé
1. Cycle. Les chiffres des unités des puissances de 3 se répètent avec une période 4. 2. 123≡3(mod4)123\equiv3\pmod{4} ; la puissance cherchée a donc le même dernier chiffre que 333^{3}. 3. Résultat. En calculant cette petite puissance modulo 10, on trouve 7\boxed{7} comme chiffre des unités de 31233^{123}.

Exercice 15 — Chiffre des unités d'une grande puissance — cas 3

Quel est le chiffre des unités de 7^{101} ?
  1. Étudier le cycle des derniers chiffres de 7^k.
  2. Réduire l'exposant modulo la période.
  3. Conclure sans calculer la puissance entière.
Corrigé détaillé
1. Cycle. Les chiffres des unités des puissances de 7 se répètent avec une période 4. 2. 101≡1(mod4)101\equiv1\pmod{4} ; la puissance cherchée a donc le même dernier chiffre que 717^{1}. 3. Résultat. En calculant cette petite puissance modulo 10, on trouve 7\boxed{7} comme chiffre des unités de 71017^{101}.

Exercice 16 — Chiffre des unités d'une grande puissance — cas 4

Quel est le chiffre des unités de 9^{357} ?
  1. Étudier le cycle des derniers chiffres de 9^k.
  2. Réduire l'exposant modulo la période.
  3. Conclure sans calculer la puissance entière.
Corrigé détaillé
1. Cycle. Les chiffres des unités des puissances de 9 se répètent avec une période 2. 2. 357≡1(mod2)357\equiv1\pmod{2} ; la puissance cherchée a donc le même dernier chiffre que 919^{1}. 3. Résultat. En calculant cette petite puissance modulo 10, on trouve 9\boxed{9} comme chiffre des unités de 93579^{357}.

Exercice 17 — Somme et produit de congruences — cas 1

Dans Z/7Z\mathbb Z/7\mathbb Z, calculer les classes de 23+37 et 23\times37.
  1. Réduire chacun des deux nombres.
  2. Effectuer somme et produit des restes.
  3. Vérifier avec les entiers de départ.
Corrigé détaillé
1. 23\equiv2\pmod{7} et 37\equiv2\pmod{7}. 2. On additionne puis multiplie les restes : 2+2\equiv4 et 2\times2\equiv4\pmod{7}. 3. Donc 60≡4(mod7)\boxed{60\equiv4\pmod{7}} et 851≡4(mod7)\boxed{851\equiv4\pmod{7}}, identiques au calcul direct.

Exercice 18 — Somme et produit de congruences — cas 2

Dans Z/9Z\mathbb Z/9\mathbb Z, calculer les classes de 51+44 et 51\times44.
  1. Réduire chacun des deux nombres.
  2. Effectuer somme et produit des restes.
  3. Vérifier avec les entiers de départ.
Corrigé détaillé
1. 51\equiv6\pmod{9} et 44\equiv8\pmod{9}. 2. On additionne puis multiplie les restes : 6+8\equiv5 et 6\times8\equiv3\pmod{9}. 3. Donc 95≡5(mod9)\boxed{95\equiv5\pmod{9}} et 2244≡3(mod9)\boxed{2244\equiv3\pmod{9}}, identiques au calcul direct.

Exercice 19 — Somme et produit de congruences — cas 3

Dans Z/11Z\mathbb Z/11\mathbb Z, calculer les classes de 102+77 et 102\times77.
  1. Réduire chacun des deux nombres.
  2. Effectuer somme et produit des restes.
  3. Vérifier avec les entiers de départ.
Corrigé détaillé
1. 102\equiv3\pmod{11} et 77\equiv0\pmod{11}. 2. On additionne puis multiplie les restes : 3+0\equiv3 et 3\times0\equiv0\pmod{11}. 3. Donc 179≡3(mod11)\boxed{179\equiv3\pmod{11}} et 7854≡0(mod11)\boxed{7854\equiv0\pmod{11}}, identiques au calcul direct.

Exercice 20 — Somme et produit de congruences — cas 4

Dans Z/13Z\mathbb Z/13\mathbb Z, calculer les classes de 95+86 et 95\times86.
  1. Réduire chacun des deux nombres.
  2. Effectuer somme et produit des restes.
  3. Vérifier avec les entiers de départ.
Corrigé détaillé
1. 95\equiv4\pmod{13} et 86\equiv8\pmod{13}. 2. On additionne puis multiplie les restes : 4+8\equiv12 et 4\times8\equiv6\pmod{13}. 3. Donc 181≡12(mod13)\boxed{181\equiv12\pmod{13}} et 8170≡6(mod13)\boxed{8170\equiv6\pmod{13}}, identiques au calcul direct.

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