Terminale maths expertes

Géométrie complexe : affixes, rotations et lieux — 20 exercices

Utiliser les nombres complexes pour raisonner sur les points, transformations et ensembles de points dans le plan.

L'essentiel à retenir

  • AB→\overrightarrow{AB} a pour affixe zB−zAz_B-z_A ; AB=∣zB−zA∣AB=|z_B-z_A|.
  • Une rotation de centre OO et d'angle θ\theta s'écrit z′=eiθzz'=e^{i\theta}z.
  • Une homothétie de centre cc et de rapport kk s'écrit z′=c+k(z−c)z'=c+k(z-c).
  • ∣z−a∣=r|z-a|=r est l'équation complexe d'un cercle de centre d'affixe aa et de rayon r>0r>0.

Exercice 1 — Points, vecteur et milieu dans le plan complexe — 1

Dans le plan complexe, les affixes des points AA et BB sont zA=1+2iz_A=1+2i et zB=4+6iz_B=4+6i.
  1. Déterminer l'affixe de AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Calculer ABAB.
  3. Donner l'affixe du milieu II.
Corrigé détaillé
1. L'affixe du vecteur est zB−zA=3+4iz_B-z_A=\boxed{3+4i}. 2. La distance est le module de cette différence : AB=9+16=25AB=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}. 3. La moyenne des deux affixes donne zI=(zA+zB)/2=2.5+4iz_I=(z_A+z_B)/2=\boxed{2.5+4i}.

Exercice 2 — Points, vecteur et milieu dans le plan complexe — 2

Dans le plan complexe, les affixes des points AA et BB sont zA=−2+1iz_A=-2+1i et zB=2+4iz_B=2+4i.
  1. Déterminer l'affixe de AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Calculer ABAB.
  3. Donner l'affixe du milieu II.
Corrigé détaillé
1. L'affixe du vecteur est zB−zA=4+3iz_B-z_A=\boxed{4+3i}. 2. La distance est le module de cette différence : AB=16+9=25AB=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}. 3. La moyenne des deux affixes donne zI=(zA+zB)/2=0+2.5iz_I=(z_A+z_B)/2=\boxed{0+2.5i}.

Exercice 3 — Points, vecteur et milieu dans le plan complexe — 3

Dans le plan complexe, les affixes des points AA et BB sont zA=0−1iz_A=0-1i et zB=3+3iz_B=3+3i.
  1. Déterminer l'affixe de AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Calculer ABAB.
  3. Donner l'affixe du milieu II.
Corrigé détaillé
1. L'affixe du vecteur est zB−zA=3+4iz_B-z_A=\boxed{3+4i}. 2. La distance est le module de cette différence : AB=9+16=25AB=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}. 3. La moyenne des deux affixes donne zI=(zA+zB)/2=1.5+1iz_I=(z_A+z_B)/2=\boxed{1.5+1i}.

Exercice 4 — Points, vecteur et milieu dans le plan complexe — 4

Dans le plan complexe, les affixes des points AA et BB sont zA=3+0iz_A=3+0i et zB=−1+2iz_B=-1+2i.
  1. Déterminer l'affixe de AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Calculer ABAB.
  3. Donner l'affixe du milieu II.
Corrigé détaillé
1. L'affixe du vecteur est zB−zA=−4+2iz_B-z_A=\boxed{-4+2i}. 2. La distance est le module de cette différence : AB=16+4=20AB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}. 3. La moyenne des deux affixes donne zI=(zA+zB)/2=1+1iz_I=(z_A+z_B)/2=\boxed{1+1i}.

Exercice 5 — Rotation et images complexes — quart de tour 1

Le point MM a pour affixe z=2+1iz=2+1i. On effectue une rotation de centre OO et d'angle 1\pi/2.
  1. Écrire l'affixe de M′M'.
  2. Calculer ses coordonnées.
  3. Vérifier que le module est conservé.
Corrigé détaillé
1. Une rotation d'angle α\alpha transforme zz en eiαze^{i\alpha}z. Ici z′=i1zz'=i^{1}z. 2. On utilise i2=−1i^2=-1 et i4=1i^4=1 ; le calcul donne z′=−1+2i\boxed{z'=-1+2i}. 3. ∣z′∣=∣i1∣∣z∣=∣z∣=5|z'|=|i^{1}||z|=|z|=\sqrt{5}, donc la distance à l'origine est inchangée.

Exercice 6 — Rotation et images complexes — quart de tour 2

Le point MM a pour affixe z=1−3iz=1-3i. On effectue une rotation de centre OO et d'angle 2\pi/2.
  1. Écrire l'affixe de M′M'.
  2. Calculer ses coordonnées.
  3. Vérifier que le module est conservé.
Corrigé détaillé
1. Une rotation d'angle α\alpha transforme zz en eiαze^{i\alpha}z. Ici z′=i2zz'=i^{2}z. 2. On utilise i2=−1i^2=-1 et i4=1i^4=1 ; le calcul donne z′=−1+3i\boxed{z'=-1+3i}. 3. ∣z′∣=∣i2∣∣z∣=∣z∣=10|z'|=|i^{2}||z|=|z|=\sqrt{10}, donc la distance à l'origine est inchangée.

Exercice 7 — Rotation et images complexes — quart de tour 3

Le point MM a pour affixe z=−1+2iz=-1+2i. On effectue une rotation de centre OO et d'angle 3\pi/2.
  1. Écrire l'affixe de M′M'.
  2. Calculer ses coordonnées.
  3. Vérifier que le module est conservé.
Corrigé détaillé
1. Une rotation d'angle α\alpha transforme zz en eiαze^{i\alpha}z. Ici z′=i3zz'=i^{3}z. 2. On utilise i2=−1i^2=-1 et i4=1i^4=1 ; le calcul donne z′=2+1i\boxed{z'=2+1i}. 3. ∣z′∣=∣i3∣∣z∣=∣z∣=5|z'|=|i^{3}||z|=|z|=\sqrt{5}, donc la distance à l'origine est inchangée.

Exercice 8 — Rotation et images complexes — quart de tour 4

Le point MM a pour affixe z=3+2iz=3+2i. On effectue une rotation de centre OO et d'angle 4\pi/2.
  1. Écrire l'affixe de M′M'.
  2. Calculer ses coordonnées.
  3. Vérifier que le module est conservé.
Corrigé détaillé
1. Une rotation d'angle α\alpha transforme zz en eiαze^{i\alpha}z. Ici z′=i4zz'=i^{4}z. 2. On utilise i2=−1i^2=-1 et i4=1i^4=1 ; le calcul donne z′=3+2i\boxed{z'=3+2i}. 3. ∣z′∣=∣i4∣∣z∣=∣z∣=13|z'|=|i^{4}||z|=|z|=\sqrt{13}, donc la distance à l'origine est inchangée.

Exercice 9 — Homothétie de centre complexe — 1

Soit CC d'affixe c=1+ic=1+i, et MM d'affixe z=3+2iz=3+2i. Une homothétie de centre CC et de rapport 2 transforme MM en M′M'.
  1. Écrire z′−c=k(z−c)z'-c=k(z-c).
  2. Calculer z′z'.
  3. Déterminer CM′/CMCM'/CM si M≠CM\ne C.
Corrigé détaillé
1. La relation vectorielle CM′→=2CM→\overrightarrow{CM'}=2\overrightarrow{CM} se traduit par z′=c+2(z−c)z'=c+2(z-c). 2. La partie réelle vaut 1+2(3−1)=51+2(3-1)=5 ; l'imaginaire vaut 1+2(2−1)=31+2(2-1)=3. Donc z′=5+3i\boxed{z'=5+3i}. 3. En prenant les modules, CM′=∣2∣CMCM'=|2|CM, donc le rapport des distances vaut 2.

Exercice 10 — Homothétie de centre complexe — 2

Soit CC d'affixe c=1+ic=1+i, et MM d'affixe z=4−1iz=4-1i. Une homothétie de centre CC et de rapport -1 transforme MM en M′M'.
  1. Écrire z′−c=k(z−c)z'-c=k(z-c).
  2. Calculer z′z'.
  3. Déterminer CM′/CMCM'/CM si M≠CM\ne C.
Corrigé détaillé
1. La relation vectorielle CM′→=−1CM→\overrightarrow{CM'}=-1\overrightarrow{CM} se traduit par z′=c+−1(z−c)z'=c+-1(z-c). 2. La partie réelle vaut 1+−1(4−1)=−21+-1(4-1)=-2 ; l'imaginaire vaut 1+−1(−1−1)=31+-1(-1-1)=3. Donc z′=−2+3i\boxed{z'=-2+3i}. 3. En prenant les modules, CM′=∣−1∣CMCM'=|-1|CM, donc le rapport des distances vaut 1.

Exercice 11 — Homothétie de centre complexe — 3

Soit CC d'affixe c=1+ic=1+i, et MM d'affixe z=−2+3iz=-2+3i. Une homothétie de centre CC et de rapport 3 transforme MM en M′M'.
  1. Écrire z′−c=k(z−c)z'-c=k(z-c).
  2. Calculer z′z'.
  3. Déterminer CM′/CMCM'/CM si M≠CM\ne C.
Corrigé détaillé
1. La relation vectorielle CM′→=3CM→\overrightarrow{CM'}=3\overrightarrow{CM} se traduit par z′=c+3(z−c)z'=c+3(z-c). 2. La partie réelle vaut 1+3(−2−1)=−81+3(-2-1)=-8 ; l'imaginaire vaut 1+3(3−1)=71+3(3-1)=7. Donc z′=−8+7i\boxed{z'=-8+7i}. 3. En prenant les modules, CM′=∣3∣CMCM'=|3|CM, donc le rapport des distances vaut 3.

Exercice 12 — Homothétie de centre complexe — 4

Soit CC d'affixe c=1+ic=1+i, et MM d'affixe z=0+0iz=0+0i. Une homothétie de centre CC et de rapport 4 transforme MM en M′M'.
  1. Écrire z′−c=k(z−c)z'-c=k(z-c).
  2. Calculer z′z'.
  3. Déterminer CM′/CMCM'/CM si M≠CM\ne C.
Corrigé détaillé
1. La relation vectorielle CM′→=4CM→\overrightarrow{CM'}=4\overrightarrow{CM} se traduit par z′=c+4(z−c)z'=c+4(z-c). 2. La partie réelle vaut 1+4(0−1)=−31+4(0-1)=-3 ; l'imaginaire vaut 1+4(0−1)=−31+4(0-1)=-3. Donc z′=−3−3i\boxed{z'=-3-3i}. 3. En prenant les modules, CM′=∣4∣CMCM'=|4|CM, donc le rapport des distances vaut 4.

Exercice 13 — Lieu géométrique : cercle dans le plan complexe — 1

Déterminer les points MM d'affixe z=x+iyz=x+iy tels que ∣z−(1+2i)∣=3|z-(1+2i)|=3.
  1. Traduire en distance.
  2. Écrire l'équation cartésienne.
  3. Déterminer centre et rayon.
Corrigé détaillé
1. La quantité ∣z−(1+2i)∣|z-(1+2i)| représente la distance du point MM au point A(1,2)A(1,2). 2. En élevant au carré, on obtient (x−1)2+(y−(2))2=9\boxed{(x-1)^2+(y-(2))^2=9}. 3. Le lieu est le cercle de centre A(1,2)A(1,2) et de rayon 3 (positif).

Exercice 14 — Lieu géométrique : cercle dans le plan complexe — 2

Déterminer les points MM d'affixe z=x+iyz=x+iy tels que ∣z−(−2+1i)∣=2|z-(-2+1i)|=2.
  1. Traduire en distance.
  2. Écrire l'équation cartésienne.
  3. Déterminer centre et rayon.
Corrigé détaillé
1. La quantité ∣z−(−2+1i)∣|z-(-2+1i)| représente la distance du point MM au point A(−2,1)A(-2,1). 2. En élevant au carré, on obtient (x−−2)2+(y−(1))2=4\boxed{(x--2)^2+(y-(1))^2=4}. 3. Le lieu est le cercle de centre A(−2,1)A(-2,1) et de rayon 2 (positif).

Exercice 15 — Lieu géométrique : cercle dans le plan complexe — 3

Déterminer les points MM d'affixe z=x+iyz=x+iy tels que ∣z−(3−1i)∣=4|z-(3-1i)|=4.
  1. Traduire en distance.
  2. Écrire l'équation cartésienne.
  3. Déterminer centre et rayon.
Corrigé détaillé
1. La quantité ∣z−(3−1i)∣|z-(3-1i)| représente la distance du point MM au point A(3,−1)A(3,-1). 2. En élevant au carré, on obtient (x−3)2+(y−(−1))2=16\boxed{(x-3)^2+(y-(-1))^2=16}. 3. Le lieu est le cercle de centre A(3,−1)A(3,-1) et de rayon 4 (positif).

Exercice 16 — Lieu géométrique : cercle dans le plan complexe — 4

Déterminer les points MM d'affixe z=x+iyz=x+iy tels que ∣z−(0+2i)∣=5|z-(0+2i)|=5.
  1. Traduire en distance.
  2. Écrire l'équation cartésienne.
  3. Déterminer centre et rayon.
Corrigé détaillé
1. La quantité ∣z−(0+2i)∣|z-(0+2i)| représente la distance du point MM au point A(0,2)A(0,2). 2. En élevant au carré, on obtient (x−0)2+(y−(2))2=25\boxed{(x-0)^2+(y-(2))^2=25}. 3. Le lieu est le cercle de centre A(0,2)A(0,2) et de rayon 5 (positif).

Exercice 17 — Médiatrice et équidistance de deux affixes — 1

Dans le plan complexe, AA a pour affixe -2 et BB pour affixe 4. Déterminer l'ensemble des z=x+iyz=x+iy vérifiant ∣z−−2∣=∣z−4∣|z--2|=|z-4|.
Corrigé détaillé
1. Cette égalité signifie MA=MBMA=MB ; le lieu est la médiatrice de [AB][AB]. 2. On élève au carré : (x−−2)2+y2=(x−4)2+y2(x--2)^2+y^2=(x-4)^2+y^2. 3. En simplifiant, 2(4−−2)x=122(4--2)x=12, donc x=1\boxed{x=1}. C'est la droite verticale passant par le milieu des points réels A,BA,B.

Exercice 18 — Médiatrice et équidistance de deux affixes — 2

Dans le plan complexe, AA a pour affixe 1 et BB pour affixe 7. Déterminer l'ensemble des z=x+iyz=x+iy vérifiant ∣z−1∣=∣z−7∣|z-1|=|z-7|.
Corrigé détaillé
1. Cette égalité signifie MA=MBMA=MB ; le lieu est la médiatrice de [AB][AB]. 2. On élève au carré : (x−1)2+y2=(x−7)2+y2(x-1)^2+y^2=(x-7)^2+y^2. 3. En simplifiant, 2(7−1)x=482(7-1)x=48, donc x=4\boxed{x=4}. C'est la droite verticale passant par le milieu des points réels A,BA,B.

Exercice 19 — Médiatrice et équidistance de deux affixes — 3

Dans le plan complexe, AA a pour affixe -5 et BB pour affixe 3. Déterminer l'ensemble des z=x+iyz=x+iy vérifiant ∣z−−5∣=∣z−3∣|z--5|=|z-3|.
Corrigé détaillé
1. Cette égalité signifie MA=MBMA=MB ; le lieu est la médiatrice de [AB][AB]. 2. On élève au carré : (x−−5)2+y2=(x−3)2+y2(x--5)^2+y^2=(x-3)^2+y^2. 3. En simplifiant, 2(3−−5)x=−162(3--5)x=-16, donc x=−1\boxed{x=-1}. C'est la droite verticale passant par le milieu des points réels A,BA,B.

Exercice 20 — Médiatrice et équidistance de deux affixes — 4

Dans le plan complexe, AA a pour affixe 0 et BB pour affixe 6. Déterminer l'ensemble des z=x+iyz=x+iy vérifiant ∣z−0∣=∣z−6∣|z-0|=|z-6|.
Corrigé détaillé
1. Cette égalité signifie MA=MBMA=MB ; le lieu est la médiatrice de [AB][AB]. 2. On élève au carré : (x−0)2+y2=(x−6)2+y2(x-0)^2+y^2=(x-6)^2+y^2. 3. En simplifiant, 2(6−0)x=362(6-0)x=36, donc x=3\boxed{x=3}. C'est la droite verticale passant par le milieu des points réels A,BA,B.

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