Terminale maths expertes

Équations complexes, polynômes et racines de l'unité — 20 exercices

Résoudre des équations dans le plan complexe et maîtriser les racines de l'unité et les factorisations dans C.

L'essentiel à retenir

Les racines $n$ -ièmes de l'unité sont $e^{2ik\pi/n}$ pour $k=0,\ldots,n-1$ .
Les racines de $z^n=re^{i\theta}$ ( $r>0$ ) sont $r^{1/n}e^{i(\theta+2k\pi)/n}$ .
Un polynôme du second degré à coefficients réels, de discriminant négatif, admet deux racines conjuguées.

Exercice 1 — Racines 3-ièmes de l'unité

Résoudre

z^{3}=1

dans

\mathbb C

Donner les solutions sous forme exponentielle.
Expliquer la disposition géométrique des racines.
Calculer leur somme.

Corrigé détaillé

1. Écrire

1=e^{2ik\pi}

. Toutes les solutions sont

\boxed{z_k=e^{2ik\pi/3},\ k=0,\ldots,2}

. 2. Leur module vaut 1 et deux arguments consécutifs diffèrent de

2\pi/3

: elles sont sur le cercle unité, aux sommets d'un polygone régulier. 3. La somme des racines de

X^{3}-1

, de coefficient de degré 2 nul, vaut

\boxed{0}

; on peut aussi utiliser la somme géométrique.

Exercice 2 — Racines 4-ièmes de l'unité

Résoudre

z^{4}=1

dans

\mathbb C

Donner les solutions sous forme exponentielle.
Expliquer la disposition géométrique des racines.
Calculer leur somme.

Corrigé détaillé

1. Écrire

1=e^{2ik\pi}

. Toutes les solutions sont

\boxed{z_k=e^{2ik\pi/4},\ k=0,\ldots,3}

. 2. Leur module vaut 1 et deux arguments consécutifs diffèrent de

2\pi/4

: elles sont sur le cercle unité, aux sommets d'un polygone régulier. 3. La somme des racines de

X^{4}-1

, de coefficient de degré 3 nul, vaut

\boxed{0}

; on peut aussi utiliser la somme géométrique.

Exercice 3 — Racines 5-ièmes de l'unité

Résoudre

z^{5}=1

dans

\mathbb C

Donner les solutions sous forme exponentielle.
Expliquer la disposition géométrique des racines.
Calculer leur somme.

Corrigé détaillé

1. Écrire

1=e^{2ik\pi}

. Toutes les solutions sont

\boxed{z_k=e^{2ik\pi/5},\ k=0,\ldots,4}

. 2. Leur module vaut 1 et deux arguments consécutifs diffèrent de

2\pi/5

: elles sont sur le cercle unité, aux sommets d'un polygone régulier. 3. La somme des racines de

X^{5}-1

, de coefficient de degré 4 nul, vaut

\boxed{0}

; on peut aussi utiliser la somme géométrique.

Exercice 4 — Racines 6-ièmes de l'unité

Résoudre

z^{6}=1

dans

\mathbb C

Donner les solutions sous forme exponentielle.
Expliquer la disposition géométrique des racines.
Calculer leur somme.

Corrigé détaillé

1. Écrire

1=e^{2ik\pi}

. Toutes les solutions sont

\boxed{z_k=e^{2ik\pi/6},\ k=0,\ldots,5}

. 2. Leur module vaut 1 et deux arguments consécutifs diffèrent de

2\pi/6

: elles sont sur le cercle unité, aux sommets d'un polygone régulier. 3. La somme des racines de

X^{6}-1

, de coefficient de degré 5 nul, vaut

\boxed{0}

; on peut aussi utiliser la somme géométrique.

Exercice 5 — Équation du second degré dans C — cas 1

Résoudre

z^2-2z+5=0

dans

\mathbb C

Calculer $\Delta$ .
Donner les racines.
Vérifier leur somme et leur produit.

Corrigé détaillé

\Delta=(-2)^2-4\times5=-16= (22i)^2

. 2. La formule quadratique fournit

\frac{-(-2)\pm22i}{2}

, soit

\boxed{z_1=1+2i,\ z_2=1-2i}

. 3.

z_1+z_2=2=-b_{\rm coeff}

z_1z_2=1+4=5

, d'où la vérification.

Exercice 6 — Équation du second degré dans C — cas 2

Résoudre

z^2-4z+13=0

dans

\mathbb C

Calculer $\Delta$ .
Donner les racines.
Vérifier leur somme et leur produit.

Corrigé détaillé

\Delta=(-4)^2-4\times13=-36= (23i)^2

. 2. La formule quadratique fournit

\frac{-(-4)\pm23i}{2}

, soit

\boxed{z_1=2+3i,\ z_2=2-3i}

. 3.

z_1+z_2=4=-b_{\rm coeff}

z_1z_2=4+9=13

, d'où la vérification.

Exercice 7 — Équation du second degré dans C — cas 3

Résoudre

z^2+6z+10=0

dans

\mathbb C

Calculer $\Delta$ .
Donner les racines.
Vérifier leur somme et leur produit.

Corrigé détaillé

\Delta=(6)^2-4\times10=-4= (21i)^2

. 2. La formule quadratique fournit

\frac{-(6)\pm21i}{2}

, soit

\boxed{z_1=-3+1i,\ z_2=-3-1i}

. 3.

z_1+z_2=-6=-b_{\rm coeff}

z_1z_2=9+1=10

, d'où la vérification.

Exercice 8 — Équation du second degré dans C — cas 4

Résoudre

z^2-2z+10=0

dans

\mathbb C

Calculer $\Delta$ .
Donner les racines.
Vérifier leur somme et leur produit.

Corrigé détaillé

\Delta=(-2)^2-4\times10=-36= (23i)^2

. 2. La formule quadratique fournit

\frac{-(-2)\pm23i}{2}

, soit

\boxed{z_1=1+3i,\ z_2=1-3i}

. 3.

z_1+z_2=2=-b_{\rm coeff}

z_1z_2=1+9=10

, d'où la vérification.

Exercice 9 — Équation carré d'un complexe — 1

Résoudre

z^2=-1

dans

\mathbb C

Écrire une forme factorisée.
Déterminer toutes les solutions.
Représenter les affixes dans le plan.

Corrigé détaillé

1. On écrit

z^2+1=z^2-(1i)^2=(z-1i)(z+1i)

. 2. Un produit nul impose

z-1i=0

z+1i=0

\boxed{z=\pm1i}

. 3. Les deux points sont sur l'axe imaginaire, à distance 1 de l'origine, symétriques l'un de l'autre.

Exercice 10 — Équation carré d'un complexe — 2

Résoudre

z^2=-4

dans

\mathbb C

Écrire une forme factorisée.
Déterminer toutes les solutions.
Représenter les affixes dans le plan.

Corrigé détaillé

1. On écrit

z^2+4=z^2-(2i)^2=(z-2i)(z+2i)

. 2. Un produit nul impose

z-2i=0

z+2i=0

\boxed{z=\pm2i}

. 3. Les deux points sont sur l'axe imaginaire, à distance 2 de l'origine, symétriques l'un de l'autre.

Exercice 11 — Équation carré d'un complexe — 3

Résoudre

z^2=-9

dans

\mathbb C

Écrire une forme factorisée.
Déterminer toutes les solutions.
Représenter les affixes dans le plan.

Corrigé détaillé

1. On écrit

z^2+9=z^2-(3i)^2=(z-3i)(z+3i)

. 2. Un produit nul impose

z-3i=0

z+3i=0

\boxed{z=\pm3i}

. 3. Les deux points sont sur l'axe imaginaire, à distance 3 de l'origine, symétriques l'un de l'autre.

Exercice 12 — Équation carré d'un complexe — 4

Résoudre

z^2=-16

dans

\mathbb C

Écrire une forme factorisée.
Déterminer toutes les solutions.
Représenter les affixes dans le plan.

Corrigé détaillé

1. On écrit

z^2+16=z^2-(4i)^2=(z-4i)(z+4i)

. 2. Un produit nul impose

z-4i=0

z+4i=0

\boxed{z=\pm4i}

. 3. Les deux points sont sur l'axe imaginaire, à distance 4 de l'origine, symétriques l'un de l'autre.

Exercice 13 — Racines de moins un — ordre 2

Résoudre

z^{2}=-1

Déterminer les arguments possibles.
Donner les 2 solutions distinctes.
Montrer qu'elles ont pour somme 0.

Corrigé détaillé

1. Un argument de

-1

est

\pi

modulo

2\pi

, ainsi

2

fois l'argument de

z

doit valoir

\pi+2k\pi

. 2. Les solutions sont

\boxed{z_k=e^{i(2k+1)\pi/2},\ k=0,\ldots,1}

. 3. Ce sont les racines du polynôme

X^{2}+1

. Puisque le coefficient de

X^{1}

est nul puisque le degré est au moins deux, leur somme vaut 0.

Exercice 14 — Racines de moins un — ordre 3

Résoudre

z^{3}=-1

Déterminer les arguments possibles.
Donner les 3 solutions distinctes.
Montrer qu'elles ont pour somme 0.

Corrigé détaillé

1. Un argument de

-1

est

\pi

modulo

2\pi

, ainsi

3

fois l'argument de

z

doit valoir

\pi+2k\pi

. 2. Les solutions sont

\boxed{z_k=e^{i(2k+1)\pi/3},\ k=0,\ldots,2}

. 3. Ce sont les racines du polynôme

X^{3}+1

. Puisque le coefficient de

X^{2}

est nul puisque le degré est au moins deux, leur somme vaut 0.

Exercice 15 — Racines de moins un — ordre 4

Résoudre

z^{4}=-1

Déterminer les arguments possibles.
Donner les 4 solutions distinctes.
Montrer qu'elles ont pour somme 0.

Corrigé détaillé

1. Un argument de

-1

est

\pi

modulo

2\pi

, ainsi

4

fois l'argument de

z

doit valoir

\pi+2k\pi

. 2. Les solutions sont

\boxed{z_k=e^{i(2k+1)\pi/4},\ k=0,\ldots,3}

. 3. Ce sont les racines du polynôme

X^{4}+1

. Puisque le coefficient de

X^{3}

est nul puisque le degré est au moins deux, leur somme vaut 0.

Exercice 16 — Racines de moins un — ordre 5

Résoudre

z^{5}=-1

Déterminer les arguments possibles.
Donner les 5 solutions distinctes.
Montrer qu'elles ont pour somme 0.

Corrigé détaillé

1. Un argument de

-1

est

\pi

modulo

2\pi

, ainsi

5

fois l'argument de

z

doit valoir

\pi+2k\pi

. 2. Les solutions sont

\boxed{z_k=e^{i(2k+1)\pi/5},\ k=0,\ldots,4}

. 3. Ce sont les racines du polynôme

X^{5}+1

. Puisque le coefficient de

X^{4}

est nul puisque le degré est au moins deux, leur somme vaut 0.

Exercice 17 — Factorisation sur C d'un polynôme du troisième degré — 1

On considère

P(z)=z^3-1z^2+z-1

Regrouper ses termes.
Factoriser complètement dans $\mathbb C$ .
Donner ses trois racines.

Corrigé détaillé

P(z)=z^2(z-1)+(z-1)

. 2. On factorise :

P(z)=(z-1)(z^2+1)=(z-1)(z-i)(z+i)

. 3. Les trois racines sont

\boxed{1,i,-i}

. Elles sont distinctes puisque 1 est réel positif, et leur somme vaut 1, comme attendu.

Exercice 18 — Factorisation sur C d'un polynôme du troisième degré — 2

On considère

P(z)=z^3-2z^2+z-2

Regrouper ses termes.
Factoriser complètement dans $\mathbb C$ .
Donner ses trois racines.

Corrigé détaillé

P(z)=z^2(z-2)+(z-2)

. 2. On factorise :

P(z)=(z-2)(z^2+1)=(z-2)(z-i)(z+i)

. 3. Les trois racines sont

\boxed{2,i,-i}

. Elles sont distinctes puisque 2 est réel positif, et leur somme vaut 2, comme attendu.

Exercice 19 — Factorisation sur C d'un polynôme du troisième degré — 3

On considère

P(z)=z^3-3z^2+z-3

Regrouper ses termes.
Factoriser complètement dans $\mathbb C$ .
Donner ses trois racines.

Corrigé détaillé

P(z)=z^2(z-3)+(z-3)

. 2. On factorise :

P(z)=(z-3)(z^2+1)=(z-3)(z-i)(z+i)

. 3. Les trois racines sont

\boxed{3,i,-i}

. Elles sont distinctes puisque 3 est réel positif, et leur somme vaut 3, comme attendu.

Exercice 20 — Factorisation sur C d'un polynôme du troisième degré — 4

On considère

P(z)=z^3-4z^2+z-4

Regrouper ses termes.
Factoriser complètement dans $\mathbb C$ .
Donner ses trois racines.

Corrigé détaillé

P(z)=z^2(z-4)+(z-4)

. 2. On factorise :

P(z)=(z-4)(z^2+1)=(z-4)(z-i)(z+i)

. 3. Les trois racines sont

\boxed{4,i,-i}

. Elles sont distinctes puisque 4 est réel positif, et leur somme vaut 4, comme attendu.

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