Terminale maths expertes

Nombres complexes : calcul algébrique et équations — 20 exercices corrigés

S'entraîner sur les opérations complexes, la rationalisation, les modules et les équations du second degré dans C.

L'essentiel à retenir

$i^2=-1$ et $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ .
$\overline{a+bi}=a-bi$ et $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ ; $z\overline z=|z|^2$ .
Pour $w\ne0$ , $\dfrac zw=\dfrac{z\overline w}{|w|^2}$ .
Un trinôme réel de discriminant négatif admet deux racines complexes conjuguées.

Exercice 1 — Produit de deux nombres complexes — situation 1

Soient

z=2+1i

w=3-2i

Développer $zw$ .
Donner sa partie réelle et sa partie imaginaire.
Calculer son module en utilisant $|zw|=|z||w|$ .

Corrigé détaillé

1. On utilise

i^2=-1

et la distributivité :

zw=(2\times3-1\times-2)+(2\times-2+1\times3)i=\boxed{8-1i}

. 2. Parties réelle et imaginaire :

\Re(zw)=8

\Im(zw)=-1

. 3.

|z|=\sqrt{5}

|w|=\sqrt{13}

, donc

|zw|=\sqrt{65}

; vérification par

\sqrt{65}

Exercice 2 — Produit de deux nombres complexes — situation 2

Soient

z=1-3i

w=2+4i

Développer $zw$ .
Donner sa partie réelle et sa partie imaginaire.
Calculer son module en utilisant $|zw|=|z||w|$ .

Corrigé détaillé

1. On utilise

i^2=-1

et la distributivité :

zw=(1\times2--3\times4)+(1\times4+-3\times2)i=\boxed{14-2i}

. 2. Parties réelle et imaginaire :

\Re(zw)=14

\Im(zw)=-2

. 3.

|z|=\sqrt{10}

|w|=\sqrt{20}

, donc

|zw|=\sqrt{200}

; vérification par

\sqrt{200}

Exercice 3 — Produit de deux nombres complexes — situation 3

Soient

z=4+2i

w=-1+3i

Développer $zw$ .
Donner sa partie réelle et sa partie imaginaire.
Calculer son module en utilisant $|zw|=|z||w|$ .

Corrigé détaillé

1. On utilise

i^2=-1

et la distributivité :

zw=(4\times-1-2\times3)+(4\times3+2\times-1)i=\boxed{-10+10i}

. 2. Parties réelle et imaginaire :

\Re(zw)=-10

\Im(zw)=10

. 3.

|z|=\sqrt{20}

|w|=\sqrt{10}

, donc

|zw|=\sqrt{200}

; vérification par

\sqrt{200}

Exercice 4 — Produit de deux nombres complexes — situation 4

Soient

z=-2+5i

w=3+1i

Développer $zw$ .
Donner sa partie réelle et sa partie imaginaire.
Calculer son module en utilisant $|zw|=|z||w|$ .

Corrigé détaillé

1. On utilise

i^2=-1

et la distributivité :

zw=(-2\times3-5\times1)+(-2\times1+5\times3)i=\boxed{-11+13i}

. 2. Parties réelle et imaginaire :

\Re(zw)=-11

\Im(zw)=13

. 3.

|z|=\sqrt{29}

|w|=\sqrt{10}

, donc

|zw|=\sqrt{290}

; vérification par

\sqrt{290}

Exercice 5 — Quotient et rationalisation — situation 1

Pour

z=4+2i

w=1+1i

, 1. écrire

z/w

sous forme algébrique.

Calculer son module.
Vérifier en multipliant par $w$ .

Corrigé détaillé

1. Multiplier par le conjugué :

\frac zw=\frac{(4+2i)(1-1i)}{2}=\boxed{\frac{6}{2}+\frac{-2}{2}i}

. 2. Le module vaut

\sqrt{20}/\sqrt{2}=\sqrt{\frac{20}{2}}

. 3. En multipliant le quotient par

w

, on retrouve bien

z

; le dénominateur est non nul.

Exercice 6 — Quotient et rationalisation — situation 2

Pour

z=3-1i

w=2+1i

, 1. écrire

z/w

sous forme algébrique.

Calculer son module.
Vérifier en multipliant par $w$ .

Corrigé détaillé

1. Multiplier par le conjugué :

\frac zw=\frac{(3-1i)(2-1i)}{5}=\boxed{\frac{5}{5}+\frac{-5}{5}i}

. 2. Le module vaut

\sqrt{10}/\sqrt{5}=\sqrt{\frac{10}{5}}

. 3. En multipliant le quotient par

w

, on retrouve bien

z

; le dénominateur est non nul.

Exercice 7 — Quotient et rationalisation — situation 3

Pour

z=2+3i

w=1-1i

, 1. écrire

z/w

sous forme algébrique.

Calculer son module.
Vérifier en multipliant par $w$ .

Corrigé détaillé

1. Multiplier par le conjugué :

\frac zw=\frac{(2+3i)(1+1i)}{2}=\boxed{\frac{-1}{2}+\frac{5}{2}i}

. 2. Le module vaut

\sqrt{13}/\sqrt{2}=\sqrt{\frac{13}{2}}

. 3. En multipliant le quotient par

w

, on retrouve bien

z

; le dénominateur est non nul.

Exercice 8 — Quotient et rationalisation — situation 4

Pour

z=-1+2i

w=2-1i

, 1. écrire

z/w

sous forme algébrique.

Calculer son module.
Vérifier en multipliant par $w$ .

Corrigé détaillé

1. Multiplier par le conjugué :

\frac zw=\frac{(-1+2i)(2+1i)}{5}=\boxed{\frac{-4}{5}+\frac{3}{5}i}

. 2. Le module vaut

\sqrt{5}/\sqrt{5}=\sqrt{\frac{5}{5}}

. 3. En multipliant le quotient par

w

, on retrouve bien

z

; le dénominateur est non nul.

Exercice 9 — Module, conjugué et inverse — situation 1

Soit

z=3+4i

Déterminer $\overline z$ et $|z|$ .
Démontrer que $z\overline z=|z|^2$ .
Calculer $1/z$ .

Corrigé détaillé

1. Le conjugué est

\overline z=3-4i

|z|=\sqrt{25}

. 2.

(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

, d'où ici

z\overline z=25=|z|^2

. 3. Comme

z\ne0

\frac1z=\frac{\overline z}{z\overline z}=\boxed{\frac{3}{25}+\frac{-4}{25}i}

Exercice 10 — Module, conjugué et inverse — situation 2

Soit

z=5-12i

Déterminer $\overline z$ et $|z|$ .
Démontrer que $z\overline z=|z|^2$ .
Calculer $1/z$ .

Corrigé détaillé

1. Le conjugué est

\overline z=5+12i

|z|=\sqrt{169}

. 2.

(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

, d'où ici

z\overline z=169=|z|^2

. 3. Comme

z\ne0

\frac1z=\frac{\overline z}{z\overline z}=\boxed{\frac{5}{169}+\frac{12}{169}i}

Exercice 11 — Module, conjugué et inverse — situation 3

Soit

z=-8+6i

Déterminer $\overline z$ et $|z|$ .
Démontrer que $z\overline z=|z|^2$ .
Calculer $1/z$ .

Corrigé détaillé

1. Le conjugué est

\overline z=-8-6i

|z|=\sqrt{100}

. 2.

(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

, d'où ici

z\overline z=100=|z|^2

. 3. Comme

z\ne0

\frac1z=\frac{\overline z}{z\overline z}=\boxed{\frac{-8}{100}+\frac{-6}{100}i}

Exercice 12 — Module, conjugué et inverse — situation 4

Soit

z=1-2i

Déterminer $\overline z$ et $|z|$ .
Démontrer que $z\overline z=|z|^2$ .
Calculer $1/z$ .

Corrigé détaillé

1. Le conjugué est

\overline z=1+2i

|z|=\sqrt{5}

. 2.

(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

, d'où ici

z\overline z=5=|z|^2

. 3. Comme

z\ne0

\frac1z=\frac{\overline z}{z\overline z}=\boxed{\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i}

Exercice 13 — Équation quadratique à racines conjuguées — situation 1

Résoudre dans

\mathbb C

l'équation

z^2-2z+5=0

Calculer le discriminant.
Déterminer les racines.
Calculer leur somme et leur produit.

Corrigé détaillé

1. Pour

z^2-2az+(a^2+b^2)

, le discriminant est

\Delta=4a^2-4(a^2+b^2)=-4b^2=-16

. 2. Les racines sont

\frac{2a\pm2|b|i}2=a\pm|b|i

, soit

\boxed{1+2i\ \text{et}\ 1-2i}

. 3. Leur somme vaut 2 et leur produit 5, conformément aux coefficients.

Exercice 14 — Équation quadratique à racines conjuguées — situation 2

Résoudre dans

\mathbb C

l'équation

z^2+4z+13=0

Calculer le discriminant.
Déterminer les racines.
Calculer leur somme et leur produit.

Corrigé détaillé

1. Pour

z^2-2az+(a^2+b^2)

, le discriminant est

\Delta=4a^2-4(a^2+b^2)=-4b^2=-36

. 2. Les racines sont

\frac{2a\pm2|b|i}2=a\pm|b|i

, soit

\boxed{-2+3i\ \text{et}\ -2-3i}

. 3. Leur somme vaut -4 et leur produit 13, conformément aux coefficients.

Exercice 15 — Équation quadratique à racines conjuguées — situation 3

Résoudre dans

\mathbb C

l'équation

z^2-6z+10=0

Calculer le discriminant.
Déterminer les racines.
Calculer leur somme et leur produit.

Corrigé détaillé

1. Pour

z^2-2az+(a^2+b^2)

, le discriminant est

\Delta=4a^2-4(a^2+b^2)=-4b^2=-4

. 2. Les racines sont

\frac{2a\pm2|b|i}2=a\pm|b|i

, soit

\boxed{3+1i\ \text{et}\ 3-1i}

. 3. Leur somme vaut 6 et leur produit 10, conformément aux coefficients.

Exercice 16 — Équation quadratique à racines conjuguées — situation 4

Résoudre dans

\mathbb C

l'équation

z^2+2z+17=0

Calculer le discriminant.
Déterminer les racines.
Calculer leur somme et leur produit.

Corrigé détaillé

1. Pour

z^2-2az+(a^2+b^2)

, le discriminant est

\Delta=4a^2-4(a^2+b^2)=-4b^2=-64

. 2. Les racines sont

\frac{2a\pm2|b|i}2=a\pm|b|i

, soit

\boxed{-1+4i\ \text{et}\ -1-4i}

. 3. Leur somme vaut -2 et leur produit 17, conformément aux coefficients.

Exercice 17 — Puissances et identité remarquable — situation 1

Soit

z=2+3i

Développer $z^2$ .
Calculer $z^2+\overline z^{\,2}$ .
Expliquer pourquoi cette somme est réelle.

Corrigé détaillé

(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi

, donc

z^2=\boxed{-5+12i}

. 2. Le conjugué de

z^2

est

\overline z^{\,2}

et les parties imaginaires s'annulent dans leur somme. On obtient

\boxed{z^2+\overline z^{\,2}=-10}

. 3. Plus généralement

w+\overline w=2\Re(w)

est toujours réel.

Exercice 18 — Puissances et identité remarquable — situation 2

Soit

z=-1+2i

Développer $z^2$ .
Calculer $z^2+\overline z^{\,2}$ .
Expliquer pourquoi cette somme est réelle.

Corrigé détaillé

(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi

, donc

z^2=\boxed{-3-4i}

. 2. Le conjugué de

z^2

est

\overline z^{\,2}

et les parties imaginaires s'annulent dans leur somme. On obtient

\boxed{z^2+\overline z^{\,2}=-6}

. 3. Plus généralement

w+\overline w=2\Re(w)

est toujours réel.

Exercice 19 — Puissances et identité remarquable — situation 3

Soit

z=4-3i

Développer $z^2$ .
Calculer $z^2+\overline z^{\,2}$ .
Expliquer pourquoi cette somme est réelle.

Corrigé détaillé

(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi

, donc

z^2=\boxed{7-24i}

. 2. Le conjugué de

z^2

est

\overline z^{\,2}

et les parties imaginaires s'annulent dans leur somme. On obtient

\boxed{z^2+\overline z^{\,2}=14}

. 3. Plus généralement

w+\overline w=2\Re(w)

est toujours réel.

Exercice 20 — Puissances et identité remarquable — situation 4

Soit

z=-2-1i

Développer $z^2$ .
Calculer $z^2+\overline z^{\,2}$ .
Expliquer pourquoi cette somme est réelle.

Corrigé détaillé

(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi

, donc

z^2=\boxed{3+4i}

. 2. Le conjugué de

z^2

est

\overline z^{\,2}

et les parties imaginaires s'annulent dans leur somme. On obtient

\boxed{z^2+\overline z^{\,2}=6}

. 3. Plus généralement

w+\overline w=2\Re(w)

est toujours réel.

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