Terminale maths expertes

Matrices : calculs, inverses et puissances — 20 exercices

Maîtriser les calculs matriciels en dimension deux, les puissances et les applications simples à la résolution de systèmes.

L'essentiel à retenir

  • Le produit ABAB associe les lignes de AA aux colonnes de BB et n'est pas commutatif en général.
  • Une matrice 2×22\times2 de déterminant non nul admet un inverse.
  • Pour D=diag⁡(a,b)D=\operatorname{diag}(a,b), Dn=diag⁡(an,bn)D^n=\operatorname{diag}(a^n,b^n).
  • Le noyau d'une matrice est l'ensemble des solutions de AX=0AX=0.

Exercice 1 — Produits matriciels et non-commutativité — 1

Soient A=(1201)A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} et B=(2013)B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}.
  1. Calculer ABAB.
  2. Calculer BABA.
  3. Vérifier si ces matrices commutent.
Corrigé détaillé
1. Pour chaque entrée du produit, multiplier une ligne de AA par une colonne de BB ; on obtient AB=(4613)AB=\boxed{\begin{pmatrix}4&6\\1&3\end{pmatrix}}. 2. Dans l'ordre inverse, on obtient BA=(2415)BA=\boxed{\begin{pmatrix}2&4\\1&5\end{pmatrix}}. 3. Ces matrices ne commutent pas : on rappelle qu'en général AB≠BAAB\ne BA.

Exercice 2 — Produits matriciels et non-commutativité — 2

Soient A=(2110)A=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix} et B=(1231)B=\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}.
  1. Calculer ABAB.
  2. Calculer BABA.
  3. Vérifier si ces matrices commutent.
Corrigé détaillé
1. Pour chaque entrée du produit, multiplier une ligne de AA par une colonne de BB ; on obtient AB=(5512)AB=\boxed{\begin{pmatrix}5&5\\1&2\end{pmatrix}}. 2. Dans l'ordre inverse, on obtient BA=(4173)BA=\boxed{\begin{pmatrix}4&1\\7&3\end{pmatrix}}. 3. Ces matrices ne commutent pas : on rappelle qu'en général AB≠BAAB\ne BA.

Exercice 3 — Produits matriciels et non-commutativité — 3

Soient A=(1−121)A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix} et B=(3102)B=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}.
  1. Calculer ABAB.
  2. Calculer BABA.
  3. Vérifier si ces matrices commutent.
Corrigé détaillé
1. Pour chaque entrée du produit, multiplier une ligne de AA par une colonne de BB ; on obtient AB=(3−164)AB=\boxed{\begin{pmatrix}3&-1\\6&4\end{pmatrix}}. 2. Dans l'ordre inverse, on obtient BA=(5−242)BA=\boxed{\begin{pmatrix}5&-2\\4&2\end{pmatrix}}. 3. Ces matrices ne commutent pas : on rappelle qu'en général AB≠BAAB\ne BA.

Exercice 4 — Produits matriciels et non-commutativité — 4

Soient A=(01−12)A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix} et B=(2311)B=\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}.
  1. Calculer ABAB.
  2. Calculer BABA.
  3. Vérifier si ces matrices commutent.
Corrigé détaillé
1. Pour chaque entrée du produit, multiplier une ligne de AA par une colonne de BB ; on obtient AB=(110−1)AB=\boxed{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}. 2. Dans l'ordre inverse, on obtient BA=(−38−13)BA=\boxed{\begin{pmatrix}-3&8\\-1&3\end{pmatrix}}. 3. Ces matrices ne commutent pas : on rappelle qu'en général AB≠BAAB\ne BA.

Exercice 5 — Déterminant et inverse 2 × 2 — 1

Considérons A=(2111)A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.
  1. Calculer son déterminant.
  2. Dire si elle est inversible.
  3. Déterminer A−1A^{-1} et vérifier le résultat.
Corrigé détaillé
1. det⁡A=ad−bc=2×1−1×1=1\det A=ad-bc=2\times1-1\times1=\boxed{1}. 2. Puisque ce déterminant est non nul, AA est inversible. 3. La formule donne A−1=11(1−1−12)A^{-1}=\frac1{1}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} ; en multipliant les deux matrices, on retrouve I2I_2.

Exercice 6 — Déterminant et inverse 2 × 2 — 2

Considérons A=(3211)A=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}.
  1. Calculer son déterminant.
  2. Dire si elle est inversible.
  3. Déterminer A−1A^{-1} et vérifier le résultat.
Corrigé détaillé
1. det⁡A=ad−bc=3×1−2×1=1\det A=ad-bc=3\times1-2\times1=\boxed{1}. 2. Puisque ce déterminant est non nul, AA est inversible. 3. La formule donne A−1=11(1−2−13)A^{-1}=\frac1{1}\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix} ; en multipliant les deux matrices, on retrouve I2I_2.

Exercice 7 — Déterminant et inverse 2 × 2 — 3

Considérons A=(1213)A=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}.
  1. Calculer son déterminant.
  2. Dire si elle est inversible.
  3. Déterminer A−1A^{-1} et vérifier le résultat.
Corrigé détaillé
1. det⁡A=ad−bc=1×3−2×1=1\det A=ad-bc=1\times3-2\times1=\boxed{1}. 2. Puisque ce déterminant est non nul, AA est inversible. 3. La formule donne A−1=11(3−2−11)A^{-1}=\frac1{1}\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix} ; en multipliant les deux matrices, on retrouve I2I_2.

Exercice 8 — Déterminant et inverse 2 × 2 — 4

Considérons A=(2312)A=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}.
  1. Calculer son déterminant.
  2. Dire si elle est inversible.
  3. Déterminer A−1A^{-1} et vérifier le résultat.
Corrigé détaillé
1. det⁡A=ad−bc=2×2−3×1=1\det A=ad-bc=2\times2-3\times1=\boxed{1}. 2. Puisque ce déterminant est non nul, AA est inversible. 3. La formule donne A−1=11(2−3−12)A^{-1}=\frac1{1}\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix} ; en multipliant les deux matrices, on retrouve I2I_2.

Exercice 9 — Puissances d'une matrice diagonale — 1

Soit D=(2003)D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}.
  1. Calculer D2D^2.
  2. Déterminer D4D^{4}.
  3. Calculer son déterminant et sa trace.
Corrigé détaillé
1. Les produits diagonaux se font coefficient par coefficient : D2=(4009)D^2=\begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}. 2. Une récurrence donne Dk=diag⁡(2k,3k)D^k=\operatorname{diag}(2^k,3^k), donc D4=(160081)D^{4}=\boxed{\begin{pmatrix}16&0\\0&81\end{pmatrix}}. 3. Sa trace est 97 et son déterminant 1296.

Exercice 10 — Puissances d'une matrice diagonale — 2

Soit D=(3005)D=\begin{pmatrix}3&0\\0&5\end{pmatrix}.
  1. Calculer D2D^2.
  2. Déterminer D3D^{3}.
  3. Calculer son déterminant et sa trace.
Corrigé détaillé
1. Les produits diagonaux se font coefficient par coefficient : D2=(90025)D^2=\begin{pmatrix}9&0\\0&25\end{pmatrix}. 2. Une récurrence donne Dk=diag⁡(3k,5k)D^k=\operatorname{diag}(3^k,5^k), donc D3=(2700125)D^{3}=\boxed{\begin{pmatrix}27&0\\0&125\end{pmatrix}}. 3. Sa trace est 152 et son déterminant 3375.

Exercice 11 — Puissances d'une matrice diagonale — 3

Soit D=(1004)D=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}.
  1. Calculer D2D^2.
  2. Déterminer D5D^{5}.
  3. Calculer son déterminant et sa trace.
Corrigé détaillé
1. Les produits diagonaux se font coefficient par coefficient : D2=(10016)D^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&16\end{pmatrix}. 2. Une récurrence donne Dk=diag⁡(1k,4k)D^k=\operatorname{diag}(1^k,4^k), donc D5=(1001024)D^{5}=\boxed{\begin{pmatrix}1&0\\0&1024\end{pmatrix}}. 3. Sa trace est 1025 et son déterminant 1024.

Exercice 12 — Puissances d'une matrice diagonale — 4

Soit D=(−2003)D=\begin{pmatrix}-2&0\\0&3\end{pmatrix}.
  1. Calculer D2D^2.
  2. Déterminer D4D^{4}.
  3. Calculer son déterminant et sa trace.
Corrigé détaillé
1. Les produits diagonaux se font coefficient par coefficient : D2=(4009)D^2=\begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}. 2. Une récurrence donne Dk=diag⁡(−2k,3k)D^k=\operatorname{diag}(-2^k,3^k), donc D4=(160081)D^{4}=\boxed{\begin{pmatrix}16&0\\0&81\end{pmatrix}}. 3. Sa trace est 97 et son déterminant 1296.

Exercice 13 — Puissance d'une matrice triangulaire non diagonale — 1

Soit A=(1101)A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} et N=A−I2N=A-I_2.
  1. Calculer N2N^2.
  2. Montrer An=I2+nNA^n=I_2+nN.
  3. Donner A5A^{5}.
Corrigé détaillé
1. N=(0100)N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} satisfait N2=0N^2=0. 2. Dans (I2+N)n(I_2+N)^n, tous les termes de degré ≥2\ge2 en NN sont nuls. Il reste donc I2+nNI_2+nN ; une récurrence donne aussi cette égalité. 3. A5=(1501)A^{5}=\boxed{\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix}}.

Exercice 14 — Puissance d'une matrice triangulaire non diagonale — 2

Soit A=(1201)A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} et N=A−I2N=A-I_2.
  1. Calculer N2N^2.
  2. Montrer An=I2+nNA^n=I_2+nN.
  3. Donner A6A^{6}.
Corrigé détaillé
1. N=(0200)N=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix} satisfait N2=0N^2=0. 2. Dans (I2+N)n(I_2+N)^n, tous les termes de degré ≥2\ge2 en NN sont nuls. Il reste donc I2+nNI_2+nN ; une récurrence donne aussi cette égalité. 3. A6=(11201)A^{6}=\boxed{\begin{pmatrix}1&12\\0&1\end{pmatrix}}.

Exercice 15 — Puissance d'une matrice triangulaire non diagonale — 3

Soit A=(1301)A=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix} et N=A−I2N=A-I_2.
  1. Calculer N2N^2.
  2. Montrer An=I2+nNA^n=I_2+nN.
  3. Donner A7A^{7}.
Corrigé détaillé
1. N=(0300)N=\begin{pmatrix}0&3\\0&0\end{pmatrix} satisfait N2=0N^2=0. 2. Dans (I2+N)n(I_2+N)^n, tous les termes de degré ≥2\ge2 en NN sont nuls. Il reste donc I2+nNI_2+nN ; une récurrence donne aussi cette égalité. 3. A7=(12101)A^{7}=\boxed{\begin{pmatrix}1&21\\0&1\end{pmatrix}}.

Exercice 16 — Puissance d'une matrice triangulaire non diagonale — 4

Soit A=(1401)A=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix} et N=A−I2N=A-I_2.
  1. Calculer N2N^2.
  2. Montrer An=I2+nNA^n=I_2+nN.
  3. Donner A8A^{8}.
Corrigé détaillé
1. N=(0400)N=\begin{pmatrix}0&4\\0&0\end{pmatrix} satisfait N2=0N^2=0. 2. Dans (I2+N)n(I_2+N)^n, tous les termes de degré ≥2\ge2 en NN sont nuls. Il reste donc I2+nNI_2+nN ; une récurrence donne aussi cette égalité. 3. A8=(13201)A^{8}=\boxed{\begin{pmatrix}1&32\\0&1\end{pmatrix}}.

Exercice 17 — Rang et noyau d'une matrice — 1

Étudier A=(1224)A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}.
  1. Trouver son rang.
  2. Résoudre AX=0AX=0.
  3. Donner une base du noyau et vérifier le théorème rang-noyau.
Corrigé détaillé
1. La deuxième ligne vaut deux fois la première et la première est non nulle ; rg⁡(A)=1\operatorname{rg}(A)=1. 2. Le système se réduit à 1x+(2)y=01x+(2)y=0 ; une solution non nulle est (x,y)=(2,−1)(x,y)=(2,-1), et toutes les solutions sont ses multiples. 3. ker⁡A=Vect⁡((2,−1))\ker A=\operatorname{Vect}((2,-1)), donc dim⁡ker⁡A=1\dim\ker A=1 et 1+1=21+1=2, dimension de l'espace de départ.

Exercice 18 — Rang et noyau d'une matrice — 2

Étudier A=(2346)A=\begin{pmatrix}2&3\\4&6\end{pmatrix}.
  1. Trouver son rang.
  2. Résoudre AX=0AX=0.
  3. Donner une base du noyau et vérifier le théorème rang-noyau.
Corrigé détaillé
1. La deuxième ligne vaut deux fois la première et la première est non nulle ; rg⁡(A)=1\operatorname{rg}(A)=1. 2. Le système se réduit à 2x+(3)y=02x+(3)y=0 ; une solution non nulle est (x,y)=(3,−2)(x,y)=(3,-2), et toutes les solutions sont ses multiples. 3. ker⁡A=Vect⁡((3,−2))\ker A=\operatorname{Vect}((3,-2)), donc dim⁡ker⁡A=1\dim\ker A=1 et 1+1=21+1=2, dimension de l'espace de départ.

Exercice 19 — Rang et noyau d'une matrice — 3

Étudier A=(3−16−2)A=\begin{pmatrix}3&-1\\6&-2\end{pmatrix}.
  1. Trouver son rang.
  2. Résoudre AX=0AX=0.
  3. Donner une base du noyau et vérifier le théorème rang-noyau.
Corrigé détaillé
1. La deuxième ligne vaut deux fois la première et la première est non nulle ; rg⁡(A)=1\operatorname{rg}(A)=1. 2. Le système se réduit à 3x+(−1)y=03x+(-1)y=0 ; une solution non nulle est (x,y)=(−1,−3)(x,y)=(-1,-3), et toutes les solutions sont ses multiples. 3. ker⁡A=Vect⁡((−1,−3))\ker A=\operatorname{Vect}((-1,-3)), donc dim⁡ker⁡A=1\dim\ker A=1 et 1+1=21+1=2, dimension de l'espace de départ.

Exercice 20 — Rang et noyau d'une matrice — 4

Étudier A=(45810)A=\begin{pmatrix}4&5\\8&10\end{pmatrix}.
  1. Trouver son rang.
  2. Résoudre AX=0AX=0.
  3. Donner une base du noyau et vérifier le théorème rang-noyau.
Corrigé détaillé
1. La deuxième ligne vaut deux fois la première et la première est non nulle ; rg⁡(A)=1\operatorname{rg}(A)=1. 2. Le système se réduit à 4x+(5)y=04x+(5)y=0 ; une solution non nulle est (x,y)=(5,−4)(x,y)=(5,-4), et toutes les solutions sont ses multiples. 3. ker⁡A=Vect⁡((5,−4))\ker A=\operatorname{Vect}((5,-4)), donc dim⁡ker⁡A=1\dim\ker A=1 et 1+1=21+1=2, dimension de l'espace de départ.

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