Première spécialité maths

Vecteurs et géométrie repérée — 10 exercices corrigés de Première spé

Dix exercices progressifs sur vecteurs et géométrie repérée et leurs corrigés expliqués.

L'essentiel à retenir

  • Dans un repère, AB→=(xB−xA,yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A).
  • Le milieu de [AB][AB] a pour coordonnées ((xA+xB)/2,(yA+yB)/2)((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2).
  • Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.

Exercice 1 — Coordonnées d'un vecteur

Pour A(1,−2)A(1,-2) et B(4,3)B(4,3), calculer AB→\overrightarrow{AB} puis la distance ABAB.
Corrigé détaillé
1. AB→=(4−1,3−(−2))=(3,5)\overrightarrow{AB}=(4-1,3-(-2))=\boxed{(3,5)}. 2. En repère orthonormé, AB=32+52=34AB=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}. 3. Les différences de coordonnées sont prises dans le sens arrivée moins départ.

Exercice 2 — Milieu d'un segment

Calculer le milieu de A(−3,5)A(-3,5) et B(7,−1)B(7,-1), puis vérifier la relation vectorielle.
Corrigé détaillé
1. I=((−3+7)/2,(5−1)/2)=(2,2)I=((-3+7)/2,(5-1)/2)=\boxed{(2,2)}. 2. AI→=(5,−3)\overrightarrow{AI}=(5,-3). 3. IB→=(5,−3)\overrightarrow{IB}=(5,-3) : les vecteurs sont égaux, donc II est bien le milieu.

Exercice 3 — Colinéarité par déterminant

Les vecteurs u=(2,3)u=(2,3) et v=(6,9)v=(6,9) sont-ils colinéaires ?
Corrigé détaillé
1. Le déterminant est 2×9−3×6=18−18=02\times9-3\times6=18-18=0. 2. De plus v=3uv=3u. 3. Les vecteurs sont colinéaires : ils définissent la même direction, avec facteur d'échelle 3.

Exercice 4 — Vecteurs non colinéaires

Tester la colinéarité de u=(1,4)u=(1,4) et v=(2,5)v=(2,5).
Corrigé détaillé
1. det⁡(u,v)=1⋅5−4⋅2=−3\det(u,v)=1\cdot5-4\cdot2=-3. 2. Le déterminant est non nul. 3. Les vecteurs ne sont pas colinéaires ; ils peuvent former une base du plan.

Exercice 5 — Alignement de points

Dans un repère, A(0,1)A(0,1), B(2,5)B(2,5), C(3,7)C(3,7). Vérifier s'ils sont alignés.
Corrigé détaillé
1. AB→=(2,4)\overrightarrow{AB}=(2,4) et AC→=(3,6)\overrightarrow{AC}=(3,6). 2. det⁡(AB,AC)=2⋅6−4⋅3=0\det(AB,AC)=2\cdot6-4\cdot3=0. 3. Les trois points sont alignés, car les deux vecteurs issus de AA sont colinéaires.

Exercice 6 — Parallélogramme par vecteurs

Les points A(0,0)A(0,0), B(3,1)B(3,1), C(5,4)C(5,4), D(2,3)D(2,3) forment-ils un parallélogramme dans cet ordre ?
Corrigé détaillé
1. AB→=(3,1)\overrightarrow{AB}=(3,1). 2. DC→=(5−2,4−3)=(3,1)\overrightarrow{DC}=(5-2,4-3)=(3,1). 3. Puisque les côtés opposés ABAB et DCDC sont de même vecteur, ABCDABCD est un parallélogramme.

Exercice 7 — Coordonnées du quatrième sommet

A(1,1)A(1,1), B(4,2)B(4,2), C(6,5)C(6,5) sont trois sommets consécutifs d'un parallélogramme ABCDABCD. Trouver DD.
Corrigé détaillé
1. Dans un parallélogramme, AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}. 2. BC→=(6−4,5−2)=(2,3)\overrightarrow{BC}=(6-4,5-2)=(2,3). 3. D=A+BC→=(1+2,1+3)=(3,4)D=A+\overrightarrow{BC}=(1+2,1+3)=\boxed{(3,4)}.

Exercice 8 — Combinaison linéaire

Avec u=(2,−1)u=(2,-1) et v=(−1,3)v=(-1,3), calculer 2u−3v2u-3v et sa norme.
Corrigé détaillé
1. 2u=(4,−2)2u=(4,-2) et 3v=(−3,9)3v=(-3,9). 2. 2u−3v=(4,−2)−(−3,9)=(7,−11)2u-3v=(4,-2)-(-3,9)=\boxed{(7,-11)}. 3. Sa norme vaut 72+(−11)2=170\sqrt{7^2+(-11)^2}=\boxed{\sqrt{170}}.

Exercice 9 — Barycentre simple

Pour deux points A(−2,3)A(-2,3) et B(4,−1)B(4,-1), trouver les coordonnées du point GG tel que AG→=13AB→\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}.
Corrigé détaillé
1. AB→=(6,−4)\overrightarrow{AB}=(6,-4). 2. AG→=(2,−4/3)\overrightarrow{AG}=(2,-4/3). 3. G=A+AG→=(−2+2,3−4/3)=(0,5/3)G=A+\overrightarrow{AG}=(-2+2,3-4/3)=\boxed{(0,5/3)}.

Exercice 10 — Parallélisme de droites

Les droites passant par A(1,1),B(4,7)A(1,1),B(4,7) et C(0,3),D(2,7)C(0,3),D(2,7) sont-elles parallèles ?
Corrigé détaillé
1. AB→=(3,6)\overrightarrow{AB}=(3,6) et CD→=(2,4)\overrightarrow{CD}=(2,4). 2. Le déterminant 3⋅4−6⋅2=03\cdot4-6\cdot2=0. 3. Les directions sont colinéaires : les droites sont parallèles, distinctes puisque CC ne satisfait pas la droite ABAB.

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