Première spécialité maths

Second degré : équations, discriminant et formes — 10 exercices corrigés de Première spé

Entraînez-vous sur second degré : équations, discriminant et formes avec dix exercices progressifs et des corrections rédigées. Conforme aux notions de Première spécialité (2026-2027).

L'essentiel à retenir

  • Le discriminant d'un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c est Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.
  • Pour a≠0a\ne0, la forme canonique est a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta avec α=−b/(2a)\alpha=-b/(2a).
  • Le sommet d'une parabole fournit son extremum.

Exercice 1 — Résoudre un trinôme

Résoudre 2x2−5x+2=02x^2-5x+2=0, vérifier les racines, puis factoriser le trinôme.
Corrigé détaillé
1. Δ=(−5)2−4×2×2=9>0\Delta=(-5)^2-4\times2\times2=9>0. 2. Les racines sont x1=(5−3)/4=1/2x_1=(5-3)/4=1/2 et x2=(5+3)/4=2x_2=(5+3)/4=2. 3. Comme le coefficient dominant vaut 2, la factorisation est 2(x−1/2)(x−2)=(2x−1)(x−2)\boxed{2(x-1/2)(x-2)}=(2x-1)(x-2). Un développement retrouve 2x2−5x+22x^2-5x+2.

Exercice 2 — Discriminant nul

Résoudre 9x2−12x+4=09x^2-12x+4=0. Reconnaître une identité remarquable et discuter le nombre de solutions.
Corrigé détaillé
1. Δ=(−12)2−4⋅9⋅4=0\Delta=(-12)^2-4\cdot9\cdot4=0 : il existe une racine double. 2. x0=12/(2⋅9)=2/3x_0=12/(2\cdot9)=2/3. 3. En effet 9x2−12x+4=(3x−2)29x^2-12x+4=(3x-2)^2 ; l'unique solution est x=2/3\boxed{x=2/3}. La parabole touche l'axe horizontal sans le traverser.

Exercice 3 — Aucune racine réelle

Étudier x2+2x+5=0x^2+2x+5=0 dans R\mathbb R puis trouver le minimum du trinôme.
Corrigé détaillé
1. Δ=22−4⋅1⋅5=−16<0\Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=-16<0, donc aucune racine réelle. 2. Complétons le carré : x2+2x+5=(x+1)2+4x^2+2x+5=(x+1)^2+4. 3. Le minimum est 4, atteint pour x=−1x=-1, ce qui confirme que l'expression ne peut s'annuler.

Exercice 4 — Forme canonique

Écrire f(x)=2x2−8x+5f(x)=2x^2-8x+5 sous forme canonique, en déduire son sommet puis son minimum.
Corrigé détaillé
1. 2x2−8x+5=2(x2−4x)+5=2[(x−2)2−4]+52x^2-8x+5=2(x^2-4x)+5=2[(x-2)^2-4]+5. 2. Ainsi f(x)=2(x−2)2−3\boxed{f(x)=2(x-2)^2-3}. 3. Le sommet est S(2,−3)S(2,-3) et, comme le coefficient 2 est positif, le minimum vaut −3-3, atteint en x=2x=2.

Exercice 5 — Factorisation par racine évidente

Vérifier que 1 est racine de P(x)=x2−4x+3P(x)=x^2-4x+3, déterminer la deuxième racine et factoriser.
Corrigé détaillé
1. P(1)=1−4+3=0P(1)=1-4+3=0. 2. La somme des racines vaut −b/a=4-b/a=4 ; la deuxième racine est donc 3. 3. On obtient P(x)=(x−1)(x−3)\boxed{P(x)=(x-1)(x-3)} ; la multiplication donne bien x2−4x+3x^2-4x+3.

Exercice 6 — Paramètre et racine double

Pour quelles valeurs de mm l'équation x2−2mx+9=0x^2-2mx+9=0 possède-t-elle une seule solution réelle ? Déterminer cette racine.
Corrigé détaillé
1. Une racine réelle double apparaît si Δ=0\Delta=0. 2. Δ=(−2m)2−36=4(m2−9)\Delta=(-2m)^2-36=4(m^2-9) ; l'équation Δ=0\Delta=0 donne m=3m=3 ou m=−3m=-3. 3. La racine double vaut x0=mx_0=m, soit 33 dans le premier cas et −3-3 dans le second.

Exercice 7 — Équation produit après substitution

Résoudre x4−5x2+4=0x^4-5x^2+4=0 dans R\mathbb R en posant t=x2t=x^2.
Corrigé détaillé
1. Posons t=x2≥0t=x^2\ge0. L'équation devient t2−5t+4=(t−1)(t−4)=0t^2-5t+4=(t-1)(t-4)=0. 2. Donc t=1t=1 ou t=4t=4, valeurs admissibles. 3. On revient à xx : x=±1x=\pm1 ou x=±2x=\pm2. L'ensemble des solutions est {−2,−1,1,2}\boxed{\{-2,-1,1,2\}}.

Exercice 8 — Somme et produit des racines

Les racines de x2−7x+10x^2-7x+10 sont rr et ss. Déterminer r+sr+s, rsrs, puis les deux racines.
Corrigé détaillé
1. Pour ax2+bx+cax^2+bx+c, les racines satisfont r+s=−b/ar+s=-b/a et rs=c/ars=c/a. 2. Ici r+s=7r+s=7 et rs=10rs=10. 3. Les nombres 2 et 5 conviennent car 2+5=72+5=7 et 2⋅5=102\cdot5=10. Donc r=2, s=5\boxed{r=2,\ s=5}, à l'ordre près.

Exercice 9 — Équation d'intersection de courbes

Déterminer les abscisses des intersections de y=x2+1y=x^2+1 et y=3x−1y=3x-1. Les courbes se coupent-elles réellement ?
Corrigé détaillé
1. Égaler les ordonnées donne x2+1=3x−1x^2+1=3x-1, soit x2−3x+2=0x^2-3x+2=0. 2. On factorise (x−1)(x−2)=0(x-1)(x-2)=0, d'où x=1x=1 ou x=2x=2. 3. Les ordonnées correspondantes sont 2 et 5 : les intersections sont (1,2),(2,5)\boxed{(1,2),(2,5)}.

Exercice 10 — Maximum d'une aire

Un rectangle a un périmètre de 24 cm. Si un côté vaut xx, exprimer son aire en fonction de xx, puis calculer son maximum.
Corrigé détaillé
1. L'autre côté vaut 12−x12-x avec 0<x<120<x<12. 2. L'aire vaut A(x)=x(12−x)=−x2+12x=−(x−6)2+36A(x)=x(12-x)=-x^2+12x=-(x-6)^2+36. 3. Comme −(x−6)2≤0-(x-6)^2\le0, l'aire maximale est 36 cm2\boxed{36\ \mathrm{cm}^2}, atteinte quand les côtés valent 6 cm.

Besoin d'aide sur ce chapitre ?

Réserver le bilan offert de 30 minCours particuliers de maths Première spécialité