Second degré : signes et inéquations — 10 exercices corrigés de Première spé
Entraînez-vous sur second degré : signes et inéquations avec dix exercices progressifs et des corrections rédigées. Conforme aux notions de Première spécialité (2026-2027).
L'essentiel à retenir
Pour un trinôme de coefficient dominant positif et deux racines réelles, le signe est négatif entre les racines.
Une valeur qui annule un dénominateur est toujours exclue.
Résoudre une inéquation exige de vérifier le signe et les bornes des intervalles.
Exercice 1 — Inéquation entre les racines
Résoudre x2−5x+6<0 en expliquant le signe du trinôme.
Corrigé détaillé
1.x2−5x+6=(x−2)(x−3).2. Le coefficient de x2 est positif : l'expression est négative strictement entre 2 et 3.3. L'ensemble solution est ]2,3[ ; les racines sont exclues en raison du signe strict.
Exercice 2 — Inéquation large
Résoudre −x2+4x−3≥0.
Corrigé détaillé
1. Factorisation : −x2+4x−3=−(x−1)(x−3).2. La parabole a un coefficient dominant négatif, donc l'expression est positive ou nulle entre ses racines.3. On obtient [1,3] ; les bornes sont incluses grâce à ≥.
Exercice 3 — Signe sans racines
Déterminer le signe de 2x2+4x+5 pour tout réel x, puis résoudre 2x2+4x+5≤0.
Corrigé détaillé
1.Δ=42−4⋅2⋅5=−24<0.2. Le trinôme garde le signe de son coefficient dominant 2>0 : il est strictement positif partout.3. L'inéquation ≤0 n'a donc aucune solution : ∅.
Exercice 4 — Signe avec racine double
Résoudre (2x−3)2>0 puis (2x−3)2≤0.
Corrigé détaillé
1. Un carré est toujours positif ou nul ; il vaut zéro exactement lorsque x=3/2.2. L'inéquation stricte >0 est donc vérifiée pour tous les réels sauf 3/2.3. L'inéquation ≤0 impose que le carré s'annule : son unique solution est {3/2}.
Exercice 5 — Tableau de signes d'un produit
Résoudre (x−1)(x+2)(x−4)>0 en dressant un tableau de signes.
Corrigé détaillé
1. Les changements de signe sont en −2, 1, 4, racines simples.2. Le produit d'un polynôme cubique de coefficient dominant positif est négatif à gauche de −2, puis les signes alternent aux trois racines.3. Le produit est positif sur ]−2,1[∪]4,+∞[.
Exercice 6 — Quotient et valeurs interdites
Résoudre x+1x−2≥0.
Corrigé détaillé
1. Le dénominateur s'annule en −1 : valeur interdite. Le numérateur s'annule en 2.2. Pour x<−1, les deux facteurs sont négatifs, quotient positif ; pour −1<x<2, quotient négatif ; pour x>2, positif.3. On obtient ]−∞,−1[∪[2,+∞[.
Exercice 7 — Comparaison de deux fonctions
Résoudre x2+2x≤3 et interpréter comme position relative de deux courbes.
Corrigé détaillé
1. On réécrit x2+2x−3≤0.2. Factorisation : (x−1)(x+3)≤0 ; le produit est négatif entre les racines.3. La solution est [−3,1] : sur cet intervalle, la parabole y=x2+2x est sous la droite horizontale y=3.
Exercice 8 — Trinôme avec paramètre
Étudier les solutions de x2−2x+m>0 pour m>1, m=1 et m<1.
Corrigé détaillé
1. On écrit x2−2x+m=(x−1)2+m−1.2. Si m>1, l'expression est strictement positive partout. Si m=1, elle est positive sauf en x=1.3. Si m<1, les racines sont 1±1−m et l'expression est positive à l'extérieur de l'intervalle délimité par ces racines.
Exercice 9 — Inéquation rationnelle
Résoudre x−2x2−1<0.
Corrigé détaillé
1. Factorisons : (x−1)(x+1)/(x−2), avec x=2 interdit.2. Les points critiques sont −1,1,2. Le signe est négatif sur ]−∞,−1[, positif sur ]−1,1[, négatif sur ]1,2[, positif sur ]2,+∞[.3. L'ensemble est ]−∞,−1[∪]1,2[.
Exercice 10 — Bénéfice d'une entreprise
Le bénéfice en centaines d'euros est B(x)=−x2+10x−16 pour 0≤x≤10. Trouver les quantités rentables et le bénéfice maximal.
Corrigé détaillé
1.B(x)=−(x−2)(x−8) : le bénéfice est positif pour 2<x<8, nul aux bornes 2 et 8.2. La forme canonique est B(x)=−(x−5)2+9.3. Le bénéfice maximal est 9 centaines d'euros, soit 900 €, atteint pour x=5.