Première spécialité maths

Nombre dérivé et équations de tangentes — 10 exercices corrigés

Entraînement progressif : nombre dérivé et équations de tangentes. Dix énoncés avec méthodes et corrigés pas à pas.

L'essentiel à retenir

  • Le nombre dérivé en aa est f′(a)=lim⁡h→0(f(a+h)−f(a))/hf'(a)=\lim_{h\to0}(f(a+h)-f(a))/h.
  • L'équation de la tangente en aa est y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a).
  • Pour f(x)=x2f(x)=x^2, f′(a)=2af'(a)=2a ; pour une fonction affine mx+pmx+p, la pente est mm.

Exercice 1 — Taux de variation d'un carré

Pour f(x)=x2f(x)=x^2, calculer le taux de variation en a=3a=3 puis la limite quand h→0h\to0.
Corrigé détaillé
1. f(3+h)=(3+h)2=9+6h+h2f(3+h)=(3+h)^2=9+6h+h^2 et f(3)=9f(3)=9. 2. Pour h≠0h\ne0, le taux vaut (6h+h2)/h=6+h(6h+h^2)/h=6+h. 3. La limite est f′(3)=6\boxed{f'(3)=6} : c'est la pente de la tangente au point (3,9)(3,9).

Exercice 2 — Tangente à une parabole

Déterminer la tangente à f(x)=x2−4x+5f(x)=x^2-4x+5 au point d'abscisse 1.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=2x−4f'(x)=2x-4 ; à 11, f′(1)=−2f'(1)=-2. 2. f(1)=1−4+5=2f(1)=1-4+5=2. 3. y=f′(1)(x−1)+f(1)=−2(x−1)+2y=f'(1)(x-1)+f(1)=-2(x-1)+2, d'où y=−2x+4\boxed{y=-2x+4}.

Exercice 3 — Dérivée en un point d'une fonction cube

Par la définition, calculer le nombre dérivé de f(x)=x3f(x)=x^3 en a=1a=1.
Corrigé détaillé
1. (1+h)3=1+3h+3h2+h3(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3. 2. Le quotient (f(1+h)−f(1))/h=3+3h+h2(f(1+h)-f(1))/h=3+3h+h^2 pour h≠0h\ne0. 3. Quand h→0h\to0, la limite vaut 3 ; donc f′(1)=3\boxed{f'(1)=3}.

Exercice 4 — Tangente horizontale

Pour f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8, trouver le point où la tangente est horizontale et son équation.
Corrigé détaillé
1. Une tangente horizontale impose f′(x)=0f'(x)=0. 2. f′(x)=2x−6=0f'(x)=2x-6=0 donne x=3x=3. 3. f(3)=9−18+8=−1f(3)=9-18+8=-1 : le point est (3,−1)(3,-1) et la tangente est y=−1\boxed{y=-1}.

Exercice 5 — Tangente parallèle à une droite

Sur la courbe f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x, trouver les abscisses où la tangente est parallèle à la droite y=6x−1y=6x-1.
Corrigé détaillé
1. Une tangente parallèle a le même coefficient directeur 6. 2. f′(x)=2x+2=6f'(x)=2x+2=6 donne x=2x=2. 3. f(2)=8f(2)=8 ; la tangente est y=6(x−2)+8=6x−4y=6(x-2)+8=\boxed{6x-4}.

Exercice 6 — Interpréter la vitesse instantanée

La position est s(t)=t2+3ts(t)=t^2+3t (en mètres) pour t≥0t\ge0. Calculer la vitesse moyenne entre 2 et 3 s puis instantanée à 2 s.
Corrigé détaillé
1. s(2)=10s(2)=10, s(3)=18s(3)=18 ; la vitesse moyenne vaut (18−10)/(3−2)=8(18-10)/(3-2)=8 m/s. 2. La vitesse instantanée est la dérivée v(t)=2t+3v(t)=2t+3. 3. À t=2t=2, v(2)=7v(2)=7 m/s ; la moyenne sur l'intervalle est différente.

Exercice 7 — Tangente et fonction inverse

Pour f(x)=1/xf(x)=1/x sur x>0x>0, écrire la tangente au point d'abscisse 2.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=−1/x2f'(x)=-1/x^2, donc f′(2)=−1/4f'(2)=-1/4. 2. f(2)=1/2f(2)=1/2. 3. L'équation est y=−(x−2)/4+1/2=−x/4+1y=-(x-2)/4+1/2=\boxed{-x/4+1}, qui passe par (2,1/2)(2,1/2).

Exercice 8 — Deux tangentes parallèles

Pour f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x, déterminer toutes les abscisses où la pente de la tangente vaut 9.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3. 2. L'équation 3x2−3=93x^2-3=9 devient x2=4x^2=4. 3. On obtient deux points de tangence : x=−2x=-2 et x=2x=2. Les tangentes correspondantes ont la même pente 9.

Exercice 9 — Tangente passant par l'origine

Chercher les points de la parabole f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 dont la tangente passe par l'origine.
Corrigé détaillé
1. La tangente en aa s'écrit y=2a(x−a)+a2+1=2ax+1−a2y=2a(x-a)+a^2+1=2ax+1-a^2. 2. Le passage par (0,0)(0,0) impose 1−a2=01-a^2=0. 3. Les deux abscisses sont a=−1 ou a=1\boxed{a=-1\text{ ou }a=1}, avec tangentes y=−2xy=-2x et y=2xy=2x.

Exercice 10 — Différence entre sécante et tangente

Pour f(x)=x2f(x)=x^2, comparer la pente de la sécante entre les abscisses 1 et 1+h1+h avec celle de la tangente en 1.
Corrigé détaillé
1. La pente sécante vaut [(1+h)2−1]/h=2+h[(1+h)^2-1]/h=2+h pour h≠0h\ne0. 2. La tangente a pour pente f′(1)=2f'(1)=2. 3. Lorsque h→0h\to0, la pente de la sécante tend vers 2 : c'est la définition géométrique du nombre dérivé.

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