Première spécialité maths

Suites arithmétiques et sommes — 10 exercices corrigés de Première spé

Entraînez-vous sur suites arithmétiques et sommes avec dix exercices progressifs et des corrections rédigées. Conforme aux notions de Première spécialité (2026-2027).

L'essentiel à retenir

  • Suite arithmétique : un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r et un=u0+nru_n=u_0+nr.
  • La somme de NN termes d'une suite arithmétique vaut N(premier+dernier)/2N(\text{premier}+\text{dernier})/2.
  • Une raison positive rend la suite croissante ; négative, décroissante.

Exercice 1 — Terme général

Une suite arithmétique vérifie u0=7u_0=7 et r=3r=3. Calculer u10u_{10}, puis unu_n.
Corrigé détaillé
1. Pour une suite arithmétique, un=u0+nru_n=u_0+nr. 2. Donc un=7+3nu_n=7+3n. 3. En particulier u10=7+30=37u_{10}=7+30=\boxed{37}. Chaque passage augmente de 3.

Exercice 2 — Déterminer une raison

On sait u4=11u_4=11 et u9=26u_9=26 pour une suite arithmétique. Déterminer rr et u0u_0.
Corrigé détaillé
1. La différence u9−u4=(9−4)r=5r=15u_9-u_4=(9-4)r=5r=15, donc r=3r=3. 2. u4=u0+4ru_4=u_0+4r donne u0=11−12=−1u_0=11-12=-1. 3. Ainsi un=−1+3n\boxed{u_n=-1+3n}, ce qui redonne bien u9=26u_9=26.

Exercice 3 — Somme de termes

Calculer S=3+7+11+⋯+39S=3+7+11+\dots+39 en explicitant le nombre de termes.
Corrigé détaillé
1. C'est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 4. 2. 3+4k=393+4k=39 donne k=9k=9, donc 10 termes. 3. S=10(3+39)/2=210S=10(3+39)/2=\boxed{210}.

Exercice 4 — Épargne à progression régulière

Une personne épargne 30 € le premier mois, puis 5 € de plus chaque mois. Calculer le versement du douzième mois et le total sur un an.
Corrigé détaillé
1. un=30+5(n−1)u_n=30+5(n-1) pour le versement du mois n≥1n\ge1. 2. u12=30+55=85u_{12}=30+55=85 €. 3. La somme des douze versements vaut 12(30+85)/2=690 €12(30+85)/2=\boxed{690\text{ €}}.

Exercice 5 — Trouver un rang

Pour un=120−7nu_n=120-7n, déterminer le premier entier n≥0n\ge0 tel que un<50u_n<50.
Corrigé détaillé
1. Résolvons 120−7n<50120-7n<50, soit −7n<−70-7n<-70. 2. Après division par −7-7, le sens change : n>10n>10. 3. Le plus petit entier admissible est 11\boxed{11} ; u10=50u_{10}=50 et u11=43u_{11}=43.

Exercice 6 — Variations d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique possède u5=18u_5=18 et u8=9u_8=9. Donner sa raison, son terme général et sa variation.
Corrigé détaillé
1. 3r=u8−u5=−93r=u_8-u_5=-9, donc r=−3r=-3. 2. u0=u5−5r=18+15=33u_0=u_5-5r=18+15=33, d'où un=33−3nu_n=33-3n. 3. La raison négative entraîne une décroissance stricte.

Exercice 7 — Somme des entiers

Démontrer que 1+2+⋯+n=n(n+1)/21+2+\cdots+n=n(n+1)/2 puis calculer 1+⋯+1001+\cdots+100.
Corrigé détaillé
1. Dans la somme S=1+⋯+nS=1+\dots+n, l'écriture inversée vaut S=n+⋯+1S=n+\dots+1. 2. En ajoutant terme à terme, 2S=n(n+1)2S=n(n+1) car il y a nn paires de somme n+1n+1. 3. S=n(n+1)/2S=n(n+1)/2 et 1+⋯+100=100⋅101/2=50501+\dots+100=100\cdot101/2=\boxed{5050}.

Exercice 8 — Suite arithmétique négative

Pour u1=16u_1=16 et r=−2r=-2, déterminer le premier indice n≥1n\ge1 tel que un≤0u_n\le0.
Corrigé détaillé
1. un=16−2(n−1)=18−2nu_n=16-2(n-1)=18-2n. 2. L'inégalité 18−2n≤018-2n\le0 équivaut à n≥9n\ge9. 3. Le premier indice est 9\boxed9 ; le terme correspondant est nul.

Exercice 9 — Moyenne arithmétique

Trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique, de somme 36, et le premier vaut 7. Déterminer les trois nombres.
Corrigé détaillé
1. Posons les nombres a−r,a,a+ra-r,a,a+r. Leur somme vaut 3a=363a=36, donc a=12a=12. 2. Le premier vaut a−r=7a-r=7, d'où r=5r=5. 3. Les nombres sont 7,12,17\boxed{7,12,17}.

Exercice 10 — Question à paramètre

On pose u0=mu_0=m et un+1=un+4u_{n+1}=u_n+4. Trouver mm pour lequel u20=100u_{20}=100, puis calculer la somme de u0u_0 à u20u_{20}.
Corrigé détaillé
1. un=m+4nu_n=m+4n. 2. m+80=100m+80=100 donne m=20m=20. 3. La somme des 21 termes de u0u_0 à u20u_{20} vaut 21(20+100)/2=126021(20+100)/2=\boxed{1260}.

Besoin d'aide sur ce chapitre ?

Réserver le bilan offert de 30 minCours particuliers de maths Première spécialité