Première spécialité maths

Suites numériques : définition et variations — 10 exercices corrigés de Première spé

Entraînez-vous sur suites numériques : définition et variations avec dix exercices progressifs et des corrections rédigées. Conforme aux notions de Première spécialité (2026-2027).

L'essentiel à retenir

  • Pour étudier la monotonie, calculer le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n ou de un+1/un−1u_{n+1}/u_n-1 si un>0u_n>0.
  • Une suite récurrente fournit chaque terme à partir du précédent.
  • En Première, il faut maîtriser calculs de termes, modèles et variations, sans supposer d'emblée une convergence.

Exercice 1 — Suite explicite

Pour un=2n2−3n+1u_n=2n^2-3n+1 avec n≥0n\ge0, calculer u0,u1,u3u_0,u_1,u_3 puis un+1−unu_{n+1}-u_n.
Corrigé détaillé
1. u0=1u_0=1, u1=0u_1=0 et u3=18−9+1=10u_3=18-9+1=10. 2. un+1−un=2[(n+1)2−n2]−3=4n−1u_{n+1}-u_n=2[(n+1)^2-n^2]-3=4n-1. 3. La différence est négative au rang 00, mais positive pour n≥1n\ge1 : la suite diminue d'abord, puis croît strictement à partir de n=1n=1.

Exercice 2 — Suite par récurrence

Soit u0=1u_0=1, un+1=2un+3u_{n+1}=2u_n+3. Calculer les quatre premiers termes puis conjecturer le sens de variation.
Corrigé détaillé
1. u1=5u_1=5, u2=13u_2=13, u3=29u_3=29. 2. Les premiers termes sont strictement croissants. 3. On peut le prouver : si un≥1u_n\ge1, alors un+1=2un+3>unu_{n+1}=2u_n+3>u_n car un+1−un=un+3>0u_{n+1}-u_n=u_n+3>0. Par récurrence, un≥1u_n\ge1 et la croissance est vérifiée.

Exercice 3 — Monotonie par différences

Étudier les variations de un=n2+2nu_n=n^2+2n pour n∈Nn\in\mathbb N.
Corrigé détaillé
1. un+1−un=(n+1)2+2(n+1)−(n2+2n)=2n+3u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+2(n+1)-(n^2+2n)=2n+3. 2. Pour tout n≥0n\ge0, 2n+3>02n+3>0. 3. La suite est donc strictement croissante dès le premier rang.

Exercice 4 — Monotonie par quotient

Soit un=2n/(n+1)u_n=2^n/(n+1) pour n≥0n\ge0. Calculer un+1/unu_{n+1}/u_n puis étudier la monotonie.
Corrigé détaillé
1. Tous les termes sont positifs, donc le quotient est défini. un+1/un=2(n+1)/(n+2)u_{n+1}/u_n=2(n+1)/(n+2). 2. Ce rapport est ≥1\ge1 si 2n+2≥n+22n+2\ge n+2, soit n≥0n\ge0. L'égalité n'a lieu qu'en n=0n=0. 3. La suite est non décroissante ; elle est strictement croissante à partir du rang 1.

Exercice 5 — Suite issue d'un contexte

Une population de 500 habitants gagne chaque année 20 habitants. Exprimer unu_n et calculer la population après 12 ans.
Corrigé détaillé
1. Le modèle vérifie u0=500u_0=500 et un+1=un+20u_{n+1}=u_n+20. 2. Par additions successives, un=500+20nu_n=500+20n. 3. Après 12 années, u12=500+240=740u_{12}=500+240=\boxed{740} habitants. Le modèle suppose le gain annuel constant.

Exercice 6 — Suite décroissante

Pour n≥1n\ge1, soit un=1/nu_n=1/n. Montrer que la suite décroît et comparer u20u_{20} à u21u_{21}.
Corrigé détaillé
1. un+1−un=1/(n+1)−1/n=−1/[n(n+1)]u_{n+1}-u_n=1/(n+1)-1/n=-1/[n(n+1)]. 2. Comme le dénominateur est positif, cette différence est strictement négative. 3. Ainsi u20=1/20>1/21=u21u_{20}=1/20>1/21=u_{21} et toute la suite décroît.

Exercice 7 — Suite quadratique

Pour un=(n−4)2u_n=(n-4)^2, déterminer les premiers rangs de croissance et de décroissance.
Corrigé détaillé
1. un+1−un=(n−3)2−(n−4)2=2n−7u_{n+1}-u_n=(n-3)^2-(n-4)^2=2n-7. 2. La différence est négative pour n=0,1,2,3n=0,1,2,3 et positive pour n≥4n\ge4. 3. La suite décroît jusqu'à u4=0u_4=0, puis croît strictement à partir du rang 4.

Exercice 8 — Modèle de dette

Une dette initiale de 1000 € est réduite de 80 € chaque mois : un=1000−80nu_n=1000-80n. Trouver le premier mois où un≤200u_n\le200.
Corrigé détaillé
1. On résout 1000−80n≤2001000-80n\le200. 2. −80n≤−800-80n\le-800, d'où n≥10n\ge10 en inversant le sens lors de la division négative. 3. Le premier mois est n=10\boxed{n=10}, et u10=200u_{10}=200 €.

Exercice 9 — Récurrence et invariant

On pose u0=4u_0=4 et un+1=(un+2)/2u_{n+1}=(u_n+2)/2. Calculer u1,u2u_1,u_2 puis montrer que un>2u_n>2.
Corrigé détaillé
1. u1=3u_1=3 et u2=5/2u_2=5/2. 2. Initialement u0=4>2u_0=4>2. Si un>2u_n>2, alors un+1=(un+2)/2>(2+2)/2=2u_{n+1}=(u_n+2)/2>(2+2)/2=2. 3. La propriété un>2u_n>2 est donc vraie par récurrence pour tous les rangs.

Exercice 10 — Algorithme pour une suite

Pour u0=1u_0=1, un+1=un+2n+1u_{n+1}=u_n+2n+1, calculer u1,u2,u3u_1,u_2,u_3 puis conjecturer unu_n.
Corrigé détaillé
1. u1=1+1=2u_1=1+1=2, u2=2+3=5u_2=2+3=5, u3=5+5=10u_3=5+5=10. 2. Les valeurs suggèrent un=n2+1u_n=n^2+1. 3. Si un=n2+1u_n=n^2+1, alors un+1=n2+1+2n+1=(n+1)2+1u_{n+1}=n^2+1+2n+1=(n+1)^2+1. La formule est vraie au rang 0 et héréditaire, donc un=n2+1\boxed{u_n=n^2+1}.

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