Première spécialité maths

Suites géométriques, évolutions et sommes — 10 exercices corrigés

Entraînement progressif : suites géométriques, évolutions et sommes. Dix énoncés avec méthodes et corrigés pas à pas.

L'essentiel à retenir

  • Pour un+1=qunu_{n+1}=qu_n, un=u0qnu_n=u_0q^n.
  • La somme 1+q+⋯+qn1+q+\cdots+q^{n} vaut (1−qn+1)/(1−q)(1-q^{n+1})/(1-q) si q≠1q\ne1.
  • Une augmentation de tt % multiplie par 1+t/1001+t/100, une diminution par 1−t/1001-t/100.

Exercice 1 — Capital et intérêts composés

Un capital de 800 € est placé à 3 % par an. Déterminer le capital au bout de 5 ans, son expression au bout de nn ans et sa variation.
Corrigé détaillé
1. Chaque année, le capital est multiplié par 1+0,03=1,031+0{,}03=1{,}03. 2. C'est une suite géométrique : Cn=800(1,03)nC_n=800(1{,}03)^n. 3. Au bout de 5 ans, C5=800(1,03)5≈927,42 €C_5=800(1{,}03)^5\approx\boxed{927{,}42\text{ €}}. La raison supérieure à 1 entraîne une croissance.

Exercice 2 — Décroissance d'une population

Une colonie de 1200 individus diminue de 15 % chaque mois. Exprimer le nombre théorique après nn mois, puis déterminer le premier mois où il passe sous 600 en comparant les puissances successives.
Corrigé détaillé
1. Modèle. La raison vaut q=1−0,15=0,85q=1-0{,}15=0{,}85 ; on a un=1200(0,85)nu_n=1200(0{,}85)^n. 2. Seuil. un<600u_n<600 revient à 0,85n<1/20{,}85^n<1/2. 3. Comparaison. À la calculatrice, 0,854≈0,5220>0,50{,}85^4\approx0{,}5220>0{,}5 alors que 0,855≈0,4437<0,50{,}85^5\approx0{,}4437<0{,}5. Comme la suite décroît, le premier mois est n=5\boxed{n=5}. Aucun logarithme n'est nécessaire.

Exercice 3 — Déterminer une raison

Une suite géométrique à termes strictement positifs vérifie u2=12u_2=12 et u5=96u_5=96. Déterminer sa raison et u0u_0.
Corrigé détaillé
1. u5=u2q3u_5=u_2q^3, donc q3=96/12=8q^3=96/12=8. 2. Comme q>0q>0, on obtient q=2q=2. 3. u0=u2/q2=12/4=3u_0=u_2/q^2=12/4=3, donc un=3⋅2nu_n=3\cdot2^n. Vérification au rang 5 : 3⋅32=963\cdot32=96.

Exercice 4 — Somme d'une suite géométrique

Calculer S=3+6+12+⋯+384S=3+6+12+\cdots+384 en indiquant le nombre de termes.
Corrigé détaillé
1. Le premier terme est 3 et la raison 2. 2. 3⋅2n=3843\cdot2^n=384 signifie 2n=128=272^n=128=2^7 ; il y a donc 8 termes, du rang 0 au rang 7. 3. S=3(28−1)/(2−1)=3⋅255=765S=3(2^8-1)/(2-1)=3\cdot255=\boxed{765}.

Exercice 5 — Évolutions successives

Le prix d'un objet augmente de 20 %, puis diminue de 20 %. Calculer le coefficient global et la variation totale.
Corrigé détaillé
1. La hausse multiplie le prix par 1,2. 2. La baisse suivante le multiplie par 0,8. 3. Le coefficient global est 1,2⋅0,8=0,961{,}2\cdot0{,}8=0{,}96 : le prix final est 96 % du prix initial, soit une baisse de 4 %, et non un retour au départ.

Exercice 6 — Première année dépassant un seuil

Une population de bactéries initialement 50 double chaque heure. Trouver le plus petit nn pour lequel un>10000u_n>10000.
Corrigé détaillé
1. La suite est un=50⋅2nu_n=50\cdot2^n. 2. 50⋅2n>1000050\cdot2^n>10000 revient à 2n>2002^n>200. 3. Or 27=128≤2002^7=128\le200 et 28=256>2002^8=256>200, donc le premier rang est n=8n=8, soit huit heures.

Exercice 7 — Comparer modèles additif et multiplicatif

Deux économies débutent à 100 €. La première reçoit 10 € par an ; la seconde progresse de 10 % par an. Comparer les montants après 5 ans.
Corrigé détaillé
1. Le modèle additif est arithmétique : An=100+10nA_n=100+10n. 2. Le modèle multiplicatif est géométrique : Gn=100(1,10)nG_n=100(1{,}10)^n. 3. Après 5 ans, A5=150A_5=150 € et G5≈161,05G_5\approx161{,}05 €. Le modèle multiplicatif dépasse le modèle additif après cette durée.

Exercice 8 — Somme des puissances

Calculer 1+12+14+⋯+1641+\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{64}, en détaillant l'indice du dernier terme.
Corrigé détaillé
1. 1/64=(1/2)61/64=(1/2)^6, les termes vont des rangs 0 à 6, soit 7 termes. 2. La formule donne S=(1−(1/2)7)/(1−1/2)S=(1-(1/2)^7)/(1-1/2). 3. Donc S=2(1−1/128)=127/64S=2(1-1/128)=\boxed{127/64}. La somme est inférieure à 2.

Exercice 9 — Remonter au capital initial

Après 3 années à 4 % d'intérêt composé, un capital vaut 1124,864 €. Déterminer le capital initial.
Corrigé détaillé
1. Le coefficient annuel est 1,041{,}04, donc C3=C0(1,04)3C_3=C_0(1{,}04)^3. 2. Comme (1,04)3=1,124864(1{,}04)^3=1{,}124864, on calcule C0=1124,864/1,124864C_0=1124{,}864/1{,}124864. 3. Ainsi C0=1000C_0=1000 €.

Exercice 10 — Modèle de réduction et somme

Une réserve contient 1000 unités et conserve 80 % de la quantité précédente à chaque étape. Calculer les quantités aux rangs 1, 2, puis la somme de celles des rangs 0 à 4.
Corrigé détaillé
1. un=1000(0,8)nu_n=1000(0{,}8)^n. 2. u1=800u_1=800 et u2=640u_2=640. 3. S4=1000(1−0,85)/(1−0,8)=5000(1−0,32768)=3361,6S_4=1000(1-0{,}8^5)/(1-0{,}8)=5000(1-0{,}32768)=\boxed{3361{,}6}. Cette somme additionne les quantités observées à cinq dates distinctes.

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