Première spécialité maths

Fonctions : variations, extrema et optimisation — 10 exercices corrigés

Entraînement progressif : fonctions : variations, extrema et optimisation. Dix énoncés avec méthodes et corrigés pas à pas.

L'essentiel à retenir

  • Si f′≥0f'\ge0 sur un intervalle, ff y est croissante.
  • Pour un extremum intérieur d'une fonction dérivable, f′f' peut s'annuler.
  • Un tableau de signes de f′f' donne un tableau de variations.

Exercice 1 — Maximum d'une parabole

Étudier f(x)=−x2+6x+1f(x)=-x^2+6x+1 sur R\mathbb R et déterminer son maximum.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=−2x+6f'(x)=-2x+6 est positive pour x<3x<3 et négative pour x>3x>3. 2. La fonction croît puis décroît. 3. Le maximum est atteint pour x=3x=3 et vaut f(3)=−9+18+1=10f(3)=-9+18+1=\boxed{10}.

Exercice 2 — Variation d'un cube

Étudier le sens de variation de f(x)=x3+2xf(x)=x^3+2x.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=3x2+2f'(x)=3x^2+2. 2. Comme x2≥0x^2\ge0, on a f′(x)≥2>0f'(x)\ge2>0. 3. La fonction est strictement croissante sur tout R\mathbb R et donc injective.

Exercice 3 — Optimiser une aire

On dispose de 40 m de clôture pour entourer un rectangle. Quelle aire maximale peut-on obtenir ?
Corrigé détaillé
1. Si un côté vaut xx, l'autre vaut 20−x20-x avec 0<x<200<x<20. 2. A(x)=x(20−x)A(x)=x(20-x) et A′(x)=20−2xA'(x)=20-2x ; la dérivée change de positif à négatif en 10. 3. L'aire maximale est 100 m2100\,\mathrm{m}^2, atteinte pour un carré de côté 10 m.

Exercice 4 — Optimisation d'une production

Le bénéfice est B(x)=−2x2+24x−40B(x)=-2x^2+24x-40 pour 0≤x≤100\le x\le10. Déterminer le maximum et la production correspondante.
Corrigé détaillé
1. B′(x)=−4x+24B'(x)=-4x+24 s'annule à x=6x=6. 2. BB croît jusqu'à 6 puis décroît. 3. B(6)=−72+144−40=32B(6)=-72+144-40=\boxed{32}. Le maximum est atteint pour une production x=6x=6.

Exercice 5 — Étudier une fraction

Étudier les variations de f(x)=(x+1)/(x+3)f(x)=(x+1)/(x+3) sur ]−3,+∞[]-3,+\infty[.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=[(x+3)−(x+1)]/(x+3)2=2/(x+3)2f'(x)=[(x+3)-(x+1)]/(x+3)^2=2/(x+3)^2. 2. Le dénominateur est strictement positif pour x>−3x>-3. 3. f′(x)>0f'(x)>0 : la fonction est strictement croissante sur son domaine.

Exercice 6 — Unicité d'une racine par variation

Montrer que x3+x−2=0x^3+x-2=0 possède une unique solution réelle et déterminer celle-ci.
Corrigé détaillé
1. Soit f(x)=x3+x−2f(x)=x^3+x-2, continue sur R\mathbb R. 2. f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^2+1>0 : elle est strictement croissante. 3. f(1)=1+1−2=0f(1)=1+1-2=0 ; la racine 1\boxed{1} existe et est unique.

Exercice 7 — Minimum sur un intervalle

Étudier f(x)=x2−4x+7f(x)=x^2-4x+7 sur [0,5][0,5] et trouver ses extrema.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=2x−4f'(x)=2x-4, négative avant 2, positive après 2. 2. On calcule f(0)=7f(0)=7, f(2)=3f(2)=3, f(5)=12f(5)=12. 3. Le minimum vaut 3\boxed3 en x=2x=2 et le maximum sur l'intervalle vaut 12\boxed{12} en x=5x=5.

Exercice 8 — Étude d'une fonction produit

Étudier les variations de f(x)=x(6−x)2f(x)=x(6-x)^2 sur [0,6][0,6].
Corrigé détaillé
1. f′(x)=(6−x)2−2x(6−x)=(6−x)(6−3x)f'(x)=(6-x)^2-2x(6-x)=(6-x)(6-3x). 2. Sur [0,6][0,6], le premier facteur est non négatif ; le second change de signe en x=2x=2. 3. ff croît sur [0,2][0,2], décroît sur [2,6][2,6] ; son maximum est f(2)=2⋅16=32f(2)=2\cdot16=\boxed{32}.

Exercice 9 — Aire d'un rectangle inscrit

Un rectangle a sa base sur l'axe horizontal et ses sommets supérieurs sur la parabole y=9−x2y=9-x^2, symétriquement de part et d'autre de l'axe vertical. Trouver son aire maximale.
Corrigé détaillé
1. Si la demi-largeur est x∈[0,3]x\in[0,3], l'aire est A(x)=2x(9−x2)=18x−2x3A(x)=2x(9-x^2)=18x-2x^3. 2. A′(x)=18−6x2=6(3−x2)A'(x)=18-6x^2=6(3-x^2) : maximum en x=3x=\sqrt3. 3. A(3)=23(9−3)=123A(\sqrt3)=2\sqrt3(9-3)=\boxed{12\sqrt3} unités d'aire.

Exercice 10 — Tangentes et variations

Pour f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^3-6x^2+9x, déterminer les points stationnaires et les intervalles de croissance.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3). 2. Le signe est positif pour x<1x<1 et x>3x>3, négatif entre 1 et 3. 3. La fonction croît sur ]−∞,1]]-\infty,1] et [3,+∞[[3,+\infty[, et décroît sur [1,3][1,3]. Les valeurs stationnaires sont f(1)=4f(1)=4 et f(3)=0f(3)=0.

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