Première STMG

Variations, extrema et optimisation — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices de mathématiques du programme de Première STMG : mises en situation de gestion, questions séparées et solutions étape par étape.

L'essentiel à retenir

  • Le signe de f′f' gouverne les variations de ff.
  • Un passage de f′>0f'>0 à f′<0f'<0 annonce un maximum local.
  • La forme −a(x−h)2+H-a(x-h)^2+H avec a>0a>0 possède un maximum HH.

Exercice 1 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 1

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−1(x−3)2+40B(x)=-1(x-3)^2+40 sur [0;6][0;6]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=4x=4.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−2(x−3)B'(x)=-2(x-3). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<3x<3, nulle en 3, négative au-delà. BB croît sur [0;3][0;3] puis décroît sur [3;6][3;6]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 40\boxed{40} pour x=3x=\boxed{3}. Une unité de plus donne B(4)=−1×1+40=39B(4)=-1\times1+40=\boxed{39} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Exercice 2 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 2

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−2(x−4)2+45B(x)=-2(x-4)^2+45 sur [0;8][0;8]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=5x=5.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−4(x−4)B'(x)=-4(x-4). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<4x<4, nulle en 4, négative au-delà. BB croît sur [0;4][0;4] puis décroît sur [4;8][4;8]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 45\boxed{45} pour x=4x=\boxed{4}. Une unité de plus donne B(5)=−2×1+45=43B(5)=-2\times1+45=\boxed{43} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Exercice 3 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 3

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−3(x−5)2+50B(x)=-3(x-5)^2+50 sur [0;10][0;10]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=6x=6.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−6(x−5)B'(x)=-6(x-5). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<5x<5, nulle en 5, négative au-delà. BB croît sur [0;5][0;5] puis décroît sur [5;10][5;10]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 50\boxed{50} pour x=5x=\boxed{5}. Une unité de plus donne B(6)=−3×1+50=47B(6)=-3\times1+50=\boxed{47} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Exercice 4 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 4

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−1(x−6)2+55B(x)=-1(x-6)^2+55 sur [0;12][0;12]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=7x=7.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−2(x−6)B'(x)=-2(x-6). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<6x<6, nulle en 6, négative au-delà. BB croît sur [0;6][0;6] puis décroît sur [6;12][6;12]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 55\boxed{55} pour x=6x=\boxed{6}. Une unité de plus donne B(7)=−1×1+55=54B(7)=-1\times1+55=\boxed{54} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Exercice 5 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 5

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−2(x−7)2+60B(x)=-2(x-7)^2+60 sur [0;14][0;14]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=8x=8.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−4(x−7)B'(x)=-4(x-7). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<7x<7, nulle en 7, négative au-delà. BB croît sur [0;7][0;7] puis décroît sur [7;14][7;14]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 60\boxed{60} pour x=7x=\boxed{7}. Une unité de plus donne B(8)=−2×1+60=58B(8)=-2\times1+60=\boxed{58} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Exercice 6 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 6

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−3(x−3)2+65B(x)=-3(x-3)^2+65 sur [0;6][0;6]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=4x=4.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−6(x−3)B'(x)=-6(x-3). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<3x<3, nulle en 3, négative au-delà. BB croît sur [0;3][0;3] puis décroît sur [3;6][3;6]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 65\boxed{65} pour x=3x=\boxed{3}. Une unité de plus donne B(4)=−3×1+65=62B(4)=-3\times1+65=\boxed{62} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Exercice 7 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 7

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−1(x−4)2+70B(x)=-1(x-4)^2+70 sur [0;8][0;8]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=5x=5.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−2(x−4)B'(x)=-2(x-4). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<4x<4, nulle en 4, négative au-delà. BB croît sur [0;4][0;4] puis décroît sur [4;8][4;8]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 70\boxed{70} pour x=4x=\boxed{4}. Une unité de plus donne B(5)=−1×1+70=69B(5)=-1\times1+70=\boxed{69} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Exercice 8 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 8

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−2(x−5)2+75B(x)=-2(x-5)^2+75 sur [0;10][0;10]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=6x=6.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−4(x−5)B'(x)=-4(x-5). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<5x<5, nulle en 5, négative au-delà. BB croît sur [0;5][0;5] puis décroît sur [5;10][5;10]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 75\boxed{75} pour x=5x=\boxed{5}. Une unité de plus donne B(6)=−2×1+75=73B(6)=-2\times1+75=\boxed{73} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Exercice 9 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 9

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−3(x−6)2+80B(x)=-3(x-6)^2+80 sur [0;12][0;12]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=7x=7.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−6(x−6)B'(x)=-6(x-6). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<6x<6, nulle en 6, négative au-delà. BB croît sur [0;6][0;6] puis décroît sur [6;12][6;12]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 80\boxed{80} pour x=6x=\boxed{6}. Une unité de plus donne B(7)=−3×1+80=77B(7)=-3\times1+80=\boxed{77} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Exercice 10 — Maximum de bénéfice et tableau de variations — 10

1. Une fonction de bénéfice est B(x)=−1(x−7)2+85B(x)=-1(x-7)^2+85 sur [0;14][0;14]. Calculer B′(x)B'(x). 2. Étudier son signe et en déduire les variations de BB. 3. Trouver le bénéfice maximal, la quantité qui l'atteint et le bénéfice pour x=8x=8.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Développer le carré ou dériver la fonction composée simple : B′(x)=−2(x−7)B'(x)=-2(x-7). Étape 2 — Faire le calcul. La dérivée est positive pour x<7x<7, nulle en 7, négative au-delà. BB croît sur [0;7][0;7] puis décroît sur [7;14][7;14]. Étape 3 — Conclure. Le maximum est 85\boxed{85} pour x=7x=\boxed{7}. Une unité de plus donne B(8)=−1×1+85=84B(8)=-1\times1+85=\boxed{84} : le bénéfice est inférieur au maximum.

Besoin d'aide sur ce chapitre ?

Réserver le bilan offert de 30 minCours particuliers de maths Première STMG