Première STMG

Suites géométriques et évolutions relatives — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices de mathématiques du programme de Première STMG : mises en situation de gestion, questions séparées et solutions étape par étape.

L'essentiel à retenir

  • Suite géométrique positive : un+1=qunu_{n+1}=qu_n, un=u0qnu_n=u_0q^n.
  • Pour une baisse de t%t\%, q=1−t/100q=1-t/100.
  • Si 0<q<10<q<1, la suite positive décroît.

Exercice 1 — Stocks à évolution géométrique — année 1

1. Un stock de 400 produits baisse de 5 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 2. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 5 % multiplie le stock par q=1−5100=0,95q=1-\frac{5}{100}=\boxed{0{,}95}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,95unu_{n+1}=0{,}95u_n et un=400×(0,95)n\boxed{u_n=400\times(0{,}95)^n}. Au mois 2, u2≈361,00u_2\approx\boxed{361{,}00} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

Exercice 2 — Stocks à évolution géométrique — année 2

1. Un stock de 440 produits baisse de 10 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 3. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 10 % multiplie le stock par q=1−10100=0,9q=1-\frac{10}{100}=\boxed{0{,}9}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,9unu_{n+1}=0{,}9u_n et un=440×(0,9)n\boxed{u_n=440\times(0{,}9)^n}. Au mois 3, u3≈320,76u_3\approx\boxed{320{,}76} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

Exercice 3 — Stocks à évolution géométrique — année 3

1. Un stock de 480 produits baisse de 15 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 4. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 15 % multiplie le stock par q=1−15100=0,85q=1-\frac{15}{100}=\boxed{0{,}85}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,85unu_{n+1}=0{,}85u_n et un=480×(0,85)n\boxed{u_n=480\times(0{,}85)^n}. Au mois 4, u4≈250,56u_4\approx\boxed{250{,}56} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

Exercice 4 — Stocks à évolution géométrique — année 4

1. Un stock de 520 produits baisse de 20 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 5. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 20 % multiplie le stock par q=1−20100=0,8q=1-\frac{20}{100}=\boxed{0{,}8}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,8unu_{n+1}=0{,}8u_n et un=520×(0,8)n\boxed{u_n=520\times(0{,}8)^n}. Au mois 5, u5≈170,39u_5\approx\boxed{170{,}39} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

Exercice 5 — Stocks à évolution géométrique — année 5

1. Un stock de 560 produits baisse de 5 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 2. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 5 % multiplie le stock par q=1−5100=0,95q=1-\frac{5}{100}=\boxed{0{,}95}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,95unu_{n+1}=0{,}95u_n et un=560×(0,95)n\boxed{u_n=560\times(0{,}95)^n}. Au mois 2, u2≈505,40u_2\approx\boxed{505{,}40} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

Exercice 6 — Stocks à évolution géométrique — année 6

1. Un stock de 600 produits baisse de 10 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 3. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 10 % multiplie le stock par q=1−10100=0,9q=1-\frac{10}{100}=\boxed{0{,}9}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,9unu_{n+1}=0{,}9u_n et un=600×(0,9)n\boxed{u_n=600\times(0{,}9)^n}. Au mois 3, u3≈437,40u_3\approx\boxed{437{,}40} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

Exercice 7 — Stocks à évolution géométrique — année 7

1. Un stock de 640 produits baisse de 15 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 4. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 15 % multiplie le stock par q=1−15100=0,85q=1-\frac{15}{100}=\boxed{0{,}85}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,85unu_{n+1}=0{,}85u_n et un=640×(0,85)n\boxed{u_n=640\times(0{,}85)^n}. Au mois 4, u4≈334,08u_4\approx\boxed{334{,}08} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

Exercice 8 — Stocks à évolution géométrique — année 8

1. Un stock de 680 produits baisse de 20 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 5. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 20 % multiplie le stock par q=1−20100=0,8q=1-\frac{20}{100}=\boxed{0{,}8}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,8unu_{n+1}=0{,}8u_n et un=680×(0,8)n\boxed{u_n=680\times(0{,}8)^n}. Au mois 5, u5≈222,82u_5\approx\boxed{222{,}82} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

Exercice 9 — Stocks à évolution géométrique — année 9

1. Un stock de 720 produits baisse de 5 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 2. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 5 % multiplie le stock par q=1−5100=0,95q=1-\frac{5}{100}=\boxed{0{,}95}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,95unu_{n+1}=0{,}95u_n et un=720×(0,95)n\boxed{u_n=720\times(0{,}95)^n}. Au mois 2, u2≈649,80u_2\approx\boxed{649{,}80} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

Exercice 10 — Stocks à évolution géométrique — année 10

1. Un stock de 760 produits baisse de 10 % par mois. Identifier la raison de la suite des stocks. 2. Écrire unu_n et calculer le stock théorique au mois 3. 3. Expliquer si la suite est croissante ou décroissante et interpréter l'hypothèse du modèle.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Une diminution de 10 % multiplie le stock par q=1−10100=0,9q=1-\frac{10}{100}=\boxed{0{,}9}. Étape 2 — Faire le calcul. un+1=0,9unu_{n+1}=0{,}9u_n et un=760×(0,9)n\boxed{u_n=760\times(0{,}9)^n}. Au mois 3, u3≈554,04u_3\approx\boxed{554{,}04} unités théoriques. Étape 3 — Conclure. Comme 0<q<10<q<1 et u0>0u_0>0, la suite décroît. Un résultat non entier représente une valeur du modèle : dans la réalité, il faut tenir compte du caractère entier du stock.

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