Première STMG

Fonctions du second degré et signe — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices de mathématiques du programme de Première STMG : mises en situation de gestion, questions séparées et solutions étape par étape.

L'essentiel à retenir

  • Pour f(x)=a(x−r)(x−s)f(x)=a(x-r)(x-s), les racines sont rr et ss.
  • Un trinôme de coefficient négatif est positif entre deux racines distinctes.
  • Le discriminant n'est pas exigé en Première technologique.

Exercice 1 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 1

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−1(x−1)(x−3)B(x)=-1(x-1)(x-3). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=1x=1 ou x=3x=3. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−1)(x−3)<0(x-1)(x-3)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 1<x<3\boxed{1<x<3}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=2\boxed{x=2}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

Exercice 2 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 2

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−2(x−2)(x−5)B(x)=-2(x-2)(x-5). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=2x=2 ou x=5x=5. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−2)(x−5)<0(x-2)(x-5)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 2<x<5\boxed{2<x<5}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=3,5\boxed{x=3{,}5}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

Exercice 3 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 3

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−3(x−3)(x−7)B(x)=-3(x-3)(x-7). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=3x=3 ou x=7x=7. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−3)(x−7)<0(x-3)(x-7)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 3<x<7\boxed{3<x<7}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=5\boxed{x=5}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

Exercice 4 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 4

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−4(x−4)(x−6)B(x)=-4(x-4)(x-6). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=4x=4 ou x=6x=6. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−4)(x−6)<0(x-4)(x-6)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 4<x<6\boxed{4<x<6}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=5\boxed{x=5}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

Exercice 5 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 5

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−1(x−1)(x−4)B(x)=-1(x-1)(x-4). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=1x=1 ou x=4x=4. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−1)(x−4)<0(x-1)(x-4)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 1<x<4\boxed{1<x<4}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=2,5\boxed{x=2{,}5}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

Exercice 6 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 6

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−2(x−2)(x−6)B(x)=-2(x-2)(x-6). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=2x=2 ou x=6x=6. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−2)(x−6)<0(x-2)(x-6)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 2<x<6\boxed{2<x<6}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=4\boxed{x=4}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

Exercice 7 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 7

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−3(x−3)(x−5)B(x)=-3(x-3)(x-5). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=3x=3 ou x=5x=5. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−3)(x−5)<0(x-3)(x-5)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 3<x<5\boxed{3<x<5}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=4\boxed{x=4}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

Exercice 8 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 8

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−4(x−4)(x−7)B(x)=-4(x-4)(x-7). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=4x=4 ou x=7x=7. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−4)(x−7)<0(x-4)(x-7)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 4<x<7\boxed{4<x<7}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=5,5\boxed{x=5{,}5}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

Exercice 9 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 9

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−1(x−1)(x−5)B(x)=-1(x-1)(x-5). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=1x=1 ou x=5x=5. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−1)(x−5)<0(x-1)(x-5)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 1<x<5\boxed{1<x<5}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=3\boxed{x=3}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

Exercice 10 — Bénéfice du second degré sous forme factorisée — 10

1. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x)=−2(x−2)(x−4)B(x)=-2(x-2)(x-4). Déterminer les niveaux de production pour lesquels le bénéfice est nul. 2. Sur quel intervalle le bénéfice est-il positif ? 3. Donner l'axe de symétrie de la parabole et interpréter les racines.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. Un produit nul donne x=2x=2 ou x=4x=4. Ce sont les seuils de rentabilité du modèle. Étape 2 — Faire le calcul. Le coefficient dominant est négatif : entre les racines, (x−2)(x−4)<0(x-2)(x-4)<0, donc B(x)>0B(x)>0 pour 2<x<4\boxed{2<x<4}. Étape 3 — Conclure. L'axe de symétrie est au milieu des racines : x=3\boxed{x=3}. Le bénéfice nul correspond à un équilibre entre charges et recettes. Pas besoin du discriminant.

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