Première STMG

Nombre dérivé et tangentes — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices de mathématiques du programme de Première STMG : mises en situation de gestion, questions séparées et solutions étape par étape.

L'essentiel à retenir

$(x^2)'=2x$ et la dérivation est linéaire.
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente.
La tangente en $x=a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Exercice 1 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 1

1. Le coût est

C(x)=1x^2+2x+10

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(2)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=2

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=2x+2}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 2,

C'(2)=2\times2+2=\boxed{6}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(2)=18

, la tangente est

\boxed{y=6(x-2)+18}

. Elle passe bien par

(2;18)

et possède la pente 6.

Exercice 2 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 2

1. Le coût est

C(x)=2x^2+3x+11

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(3)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=3

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=4x+3}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 3,

C'(3)=4\times3+3=\boxed{15}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(3)=38

, la tangente est

\boxed{y=15(x-3)+38}

. Elle passe bien par

(3;38)

et possède la pente 15.

Exercice 3 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 3

1. Le coût est

C(x)=3x^2+4x+12

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(4)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=4

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=6x+4}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 4,

C'(4)=6\times4+4=\boxed{28}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(4)=76

, la tangente est

\boxed{y=28(x-4)+76}

. Elle passe bien par

(4;76)

et possède la pente 28.

Exercice 4 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 4

1. Le coût est

C(x)=1x^2+5x+13

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(5)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=5

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=2x+5}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 5,

C'(5)=2\times5+5=\boxed{15}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(5)=63

, la tangente est

\boxed{y=15(x-5)+63}

. Elle passe bien par

(5;63)

et possède la pente 15.

Exercice 5 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 5

1. Le coût est

C(x)=2x^2+6x+14

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(2)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=2

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=4x+6}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 2,

C'(2)=4\times2+6=\boxed{14}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(2)=34

, la tangente est

\boxed{y=14(x-2)+34}

. Elle passe bien par

(2;34)

et possède la pente 14.

Exercice 6 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 6

1. Le coût est

C(x)=3x^2+2x+15

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(3)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=3

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=6x+2}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 3,

C'(3)=6\times3+2=\boxed{20}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(3)=48

, la tangente est

\boxed{y=20(x-3)+48}

. Elle passe bien par

(3;48)

et possède la pente 20.

Exercice 7 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 7

1. Le coût est

C(x)=1x^2+3x+16

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(4)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=4

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=2x+3}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 4,

C'(4)=2\times4+3=\boxed{11}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(4)=44

, la tangente est

\boxed{y=11(x-4)+44}

. Elle passe bien par

(4;44)

et possède la pente 11.

Exercice 8 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 8

1. Le coût est

C(x)=2x^2+4x+17

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(5)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=5

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=4x+4}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 5,

C'(5)=4\times5+4=\boxed{24}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(5)=87

, la tangente est

\boxed{y=24(x-5)+87}

. Elle passe bien par

(5;87)

et possède la pente 24.

Exercice 9 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 9

1. Le coût est

C(x)=3x^2+5x+18

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(2)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=2

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=6x+5}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 2,

C'(2)=6\times2+5=\boxed{17}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(2)=40

, la tangente est

\boxed{y=17(x-2)+40}

. Elle passe bien par

(2;40)

et possède la pente 17.

Exercice 10 — Dérivation d'un coût polynomial — exemple 10

1. Le coût est

C(x)=1x^2+6x+19

. Calculer sa fonction dérivée. 2. Calculer le coût marginal approché par

C'(3)

. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en

x=3

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La dérivée terme à terme est

\boxed{C'(x)=2x+6}

(x^2)'=2x

(x)'=1

. Étape 2 — Faire le calcul. À la quantité 3,

C'(3)=2\times3+6=\boxed{12}

. C'est la pente de la tangente et une approximation du coût de production d'une unité supplémentaire. Étape 3 — Conclure. Comme

C(3)=46

, la tangente est

\boxed{y=12(x-3)+46}

. Elle passe bien par

(3;46)

et possède la pente 12.

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