Première non-spécialité

Variation exponentielle et modèles $a^x$ — 10 exercices corrigés

Dix exercices progressifs du programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique de Première générale. Chaque énoncé propose trois questions séparées et un corrigé détaillé en trois étapes.

L'essentiel à retenir

Pour $a>0$ , $a^0=1$ et $a^{x+1}=a\,a^x$ .
Si $a>1$ , la fonction $x\mapsto a^x$ est croissante sur $x\ge0$ .
Le modèle exponentiel traduit un taux d'évolution multiplicatif constant.

Exercice 1 — Fonction exponentielle de base positive — cas 1

1. On modélise un phénomène par

f(t)=50\times(1{,}1)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(2)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=50\times1=\boxed{50}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(2)=50\times(1{,}1)^{2}\approx\boxed{60{,}5}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

1{,}1>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{1{,}1}

Exercice 2 — Fonction exponentielle de base positive — cas 2

1. On modélise un phénomène par

f(t)=60\times(1{,}2)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(3)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=60\times1=\boxed{60}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(3)=60\times(1{,}2)^{3}\approx\boxed{103{,}68}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

1{,}2>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{1{,}2}

Exercice 3 — Fonction exponentielle de base positive — cas 3

1. On modélise un phénomène par

f(t)=70\times(1{,}25)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(4)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=70\times1=\boxed{70}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(4)=70\times(1{,}25)^{4}\approx\boxed{170{,}9}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

1{,}25>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{1{,}25}

Exercice 4 — Fonction exponentielle de base positive — cas 4

1. On modélise un phénomène par

f(t)=80\times(1{,}5)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(2)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=80\times1=\boxed{80}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(2)=80\times(1{,}5)^{2}\approx\boxed{180}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

1{,}5>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{1{,}5}

Exercice 5 — Fonction exponentielle de base positive — cas 5

1. On modélise un phénomène par

f(t)=90\times(2)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(3)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=90\times1=\boxed{90}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(3)=90\times(2)^{3}\approx\boxed{720}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

2>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{2}

Exercice 6 — Fonction exponentielle de base positive — cas 6

1. On modélise un phénomène par

f(t)=100\times(1{,}1)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(4)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=100\times1=\boxed{100}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(4)=100\times(1{,}1)^{4}\approx\boxed{146{,}41}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

1{,}1>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{1{,}1}

Exercice 7 — Fonction exponentielle de base positive — cas 7

1. On modélise un phénomène par

f(t)=110\times(1{,}2)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(2)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=110\times1=\boxed{110}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(2)=110\times(1{,}2)^{2}\approx\boxed{158{,}4}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

1{,}2>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{1{,}2}

Exercice 8 — Fonction exponentielle de base positive — cas 8

1. On modélise un phénomène par

f(t)=120\times(1{,}25)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(3)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=120\times1=\boxed{120}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(3)=120\times(1{,}25)^{3}\approx\boxed{234{,}38}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

1{,}25>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{1{,}25}

Exercice 9 — Fonction exponentielle de base positive — cas 9

1. On modélise un phénomène par

f(t)=130\times(1{,}5)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(4)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=130\times1=\boxed{130}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(4)=130\times(1{,}5)^{4}\approx\boxed{658{,}13}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

1{,}5>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{1{,}5}

Exercice 10 — Fonction exponentielle de base positive — cas 10

1. On modélise un phénomène par

f(t)=140\times(2)^t

pour

t\ge0

. Calculer

f(0)

. 2. Calculer

f(2)

à deux décimales. 3. Déterminer si le phénomène est croissant ou décroissant et donner le facteur de multiplication quand

t

augmente d'une unité.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une puissance d'exposant nul vaut 1 :

f(0)=140\times1=\boxed{140}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On obtient

f(2)=140\times(2)^{2}\approx\boxed{560}

. Cette valeur peut être vérifiée à la calculatrice. Étape 3 — Interpréter le résultat. Puisque

2>1

f

est croissante sur

t\ge0

. Le facteur de multiplication par unité est

\boxed{2}

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