Première non-spécialité

Probabilités conditionnelles et indépendance — 10 exercices corrigés

Dix exercices progressifs du programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique de Première générale. Chaque énoncé propose trois questions séparées et un corrigé détaillé en trois étapes.

L'essentiel à retenir

$P(B\mid A)=P(A\cap B)/P(A)$ si $P(A)>0$ .
Une probabilité conditionnelle se calcule au sein du sous-groupe défini par la condition.
L'indépendance signifie $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 1

1. Sur 100 personnes, 20 sont à la fois clientes et abonnées, 30 clientes non abonnées, 10 non clientes abonnées et 40 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

20+30=50

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{50}{100}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 50 clientes, 20 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{20}{50}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 100 personnes, 20 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{20}{100}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

Exercice 2 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 2

1. Sur 106 personnes, 22 sont à la fois clientes et abonnées, 31 clientes non abonnées, 11 non clientes abonnées et 42 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

22+31=53

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{53}{106}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 53 clientes, 22 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{22}{53}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 106 personnes, 22 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{22}{106}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

Exercice 3 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 3

1. Sur 112 personnes, 24 sont à la fois clientes et abonnées, 32 clientes non abonnées, 12 non clientes abonnées et 44 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

24+32=56

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{56}{112}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 56 clientes, 24 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{24}{56}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 112 personnes, 24 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{24}{112}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

Exercice 4 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 4

1. Sur 118 personnes, 26 sont à la fois clientes et abonnées, 33 clientes non abonnées, 13 non clientes abonnées et 46 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

26+33=59

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{59}{118}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 59 clientes, 26 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{26}{59}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 118 personnes, 26 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{26}{118}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

Exercice 5 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 5

1. Sur 124 personnes, 28 sont à la fois clientes et abonnées, 34 clientes non abonnées, 14 non clientes abonnées et 48 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

28+34=62

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{62}{124}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 62 clientes, 28 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{28}{62}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 124 personnes, 28 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{28}{124}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

Exercice 6 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 6

1. Sur 130 personnes, 30 sont à la fois clientes et abonnées, 35 clientes non abonnées, 15 non clientes abonnées et 50 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

30+35=65

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{65}{130}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 65 clientes, 30 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{30}{65}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 130 personnes, 30 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{30}{130}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

Exercice 7 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 7

1. Sur 136 personnes, 32 sont à la fois clientes et abonnées, 36 clientes non abonnées, 16 non clientes abonnées et 52 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

32+36=68

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{68}{136}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 68 clientes, 32 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{32}{68}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 136 personnes, 32 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{32}{136}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

Exercice 8 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 8

1. Sur 142 personnes, 34 sont à la fois clientes et abonnées, 37 clientes non abonnées, 17 non clientes abonnées et 54 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

34+37=71

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{71}{142}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 71 clientes, 34 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{34}{71}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 142 personnes, 34 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{34}{142}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

Exercice 9 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 9

1. Sur 148 personnes, 36 sont à la fois clientes et abonnées, 38 clientes non abonnées, 18 non clientes abonnées et 56 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

36+38=74

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{74}{148}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 74 clientes, 36 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{36}{74}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 148 personnes, 36 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{36}{148}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

Exercice 10 — Probabilités conditionnelles dans une enquête — 10

1. Sur 154 personnes, 38 sont à la fois clientes et abonnées, 39 clientes non abonnées, 19 non clientes abonnées et 58 non clientes non abonnées. Calculer

P(C)

. 2. Calculer

P(A\mid C)

, la probabilité d'être abonné sachant qu'on est client. 3. Calculer

P(C\cap A)

et expliquer la différence avec la probabilité conditionnelle.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Le nombre de clientes vaut

38+39=77

. Ainsi

P(C)=\boxed{\frac{77}{154}}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. Parmi les 77 clientes, 38 sont abonnées, donc

P(A\mid C)=\boxed{\frac{38}{77}}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Sur l'ensemble des 154 personnes, 38 sont à la fois clientes et abonnées :

P(C\cap A)=\boxed{\frac{38}{154}}

. Le dénominateur correspond à la population étudiée, et non au groupe conditionnel.

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