Première non-spécialité

Épreuves indépendantes et arbres de Bernoulli — 10 exercices corrigés

Dix exercices progressifs du programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique de Première générale. Chaque énoncé propose trois questions séparées et un corrigé détaillé en trois étapes.

L'essentiel à retenir

  • Pour des épreuves indépendantes, multiplier les probabilités le long d'un chemin.
  • Au plus quatre épreuves sont étudiées par un arbre dans le programme.
  • L'événement contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ».

Exercice 1 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 1

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,2p=0{,}2 et est répétée 2 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 2 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,8q=1-p=0{,}8. Donc P(0)=q2=0,64P(0)=q^{2}=\boxed{0{,}64}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 2 places. Sa probabilité vaut 2×0,2×0,81=0,322\times0{,}2\times0{,}8^{1}=\boxed{0{,}32}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,64=0,36P(\ge1)=1-0{,}64=\boxed{0{,}36}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

Exercice 2 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 2

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,3p=0{,}3 et est répétée 3 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 3 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,7q=1-p=0{,}7. Donc P(0)=q3=0,343P(0)=q^{3}=\boxed{0{,}343}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 3 places. Sa probabilité vaut 3×0,3×0,72=0,4413\times0{,}3\times0{,}7^{2}=\boxed{0{,}441}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,343=0,657P(\ge1)=1-0{,}343=\boxed{0{,}657}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

Exercice 3 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 3

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,4p=0{,}4 et est répétée 4 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 4 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,6q=1-p=0{,}6. Donc P(0)=q4=0,1296P(0)=q^{4}=\boxed{0{,}1296}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 4 places. Sa probabilité vaut 4×0,4×0,63=0,34564\times0{,}4\times0{,}6^{3}=\boxed{0{,}3456}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,1296=0,8704P(\ge1)=1-0{,}1296=\boxed{0{,}8704}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

Exercice 4 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 4

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,5p=0{,}5 et est répétée 2 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 2 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,5q=1-p=0{,}5. Donc P(0)=q2=0,25P(0)=q^{2}=\boxed{0{,}25}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 2 places. Sa probabilité vaut 2×0,5×0,51=0,52\times0{,}5\times0{,}5^{1}=\boxed{0{,}5}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,25=0,75P(\ge1)=1-0{,}25=\boxed{0{,}75}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

Exercice 5 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 5

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,6p=0{,}6 et est répétée 3 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 3 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,4q=1-p=0{,}4. Donc P(0)=q3=0,064P(0)=q^{3}=\boxed{0{,}064}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 3 places. Sa probabilité vaut 3×0,6×0,42=0,2883\times0{,}6\times0{,}4^{2}=\boxed{0{,}288}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,064=0,936P(\ge1)=1-0{,}064=\boxed{0{,}936}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

Exercice 6 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 6

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,2p=0{,}2 et est répétée 4 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 4 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,8q=1-p=0{,}8. Donc P(0)=q4=0,4096P(0)=q^{4}=\boxed{0{,}4096}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 4 places. Sa probabilité vaut 4×0,2×0,83=0,40964\times0{,}2\times0{,}8^{3}=\boxed{0{,}4096}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,4096=0,5904P(\ge1)=1-0{,}4096=\boxed{0{,}5904}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

Exercice 7 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 7

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,3p=0{,}3 et est répétée 2 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 2 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,7q=1-p=0{,}7. Donc P(0)=q2=0,49P(0)=q^{2}=\boxed{0{,}49}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 2 places. Sa probabilité vaut 2×0,3×0,71=0,422\times0{,}3\times0{,}7^{1}=\boxed{0{,}42}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,49=0,51P(\ge1)=1-0{,}49=\boxed{0{,}51}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

Exercice 8 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 8

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,4p=0{,}4 et est répétée 3 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 3 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,6q=1-p=0{,}6. Donc P(0)=q3=0,216P(0)=q^{3}=\boxed{0{,}216}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 3 places. Sa probabilité vaut 3×0,4×0,62=0,4323\times0{,}4\times0{,}6^{2}=\boxed{0{,}432}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,216=0,784P(\ge1)=1-0{,}216=\boxed{0{,}784}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

Exercice 9 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 9

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,5p=0{,}5 et est répétée 4 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 4 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,5q=1-p=0{,}5. Donc P(0)=q4=0,0625P(0)=q^{4}=\boxed{0{,}0625}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 4 places. Sa probabilité vaut 4×0,5×0,53=0,254\times0{,}5\times0{,}5^{3}=\boxed{0{,}25}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,0625=0,9375P(\ge1)=1-0{,}0625=\boxed{0{,}9375}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

Exercice 10 — Répétitions de Bernoulli indépendantes — cas 10

1. Une épreuve a une probabilité de succès p=0,6p=0{,}6 et est répétée 2 fois de manière indépendante. Calculer la probabilité d'aucun succès. 2. Calculer la probabilité d'exactement un succès. 3. Calculer la probabilité d'au moins un succès et justifier par l'événement contraire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Aucun succès signifie 2 échec(s), chaque échec ayant une probabilité q=1−p=0,4q=1-p=0{,}4. Donc P(0)=q2=0,16P(0)=q^{2}=\boxed{0{,}16}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'unique succès peut survenir à l'une des 2 places. Sa probabilité vaut 2×0,6×0,41=0,482\times0{,}6\times0{,}4^{1}=\boxed{0{,}48}. Étape 3 — Interpréter le résultat. L'événement contraire de « au moins un » est « aucun » : P(≥1)=1−0,16=0,84P(\ge1)=1-0{,}16=\boxed{0{,}84}. Les tirages ne doivent être multipliés que parce qu'ils sont indépendants.

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