Terminale spécialité maths

Variables aléatoires, espérance et sommes — exercices corrigés Terminale

Dix exercices pour réviser variables aléatoires, espérance et sommes et leurs corrigés.

L'essentiel à retenir

$E(X)=\sum x_iP(X=x_i)$ .
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ .
$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ sans hypothèse d'indépendance.

Exercice 1 — Espérance d'un dé

Un dé équilibré donne les valeurs 1 à 6. Calculer son espérance.

Corrigé détaillé

Toutes les valeurs ont probabilité

1/6

E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=\boxed{3{,}5}

Exercice 2 — Variance d'un dé

Pour le même dé, calculer sa variance.

Corrigé détaillé

E(X^2)=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6

E(X)=7/2

. Donc

V(X)=91/6-49/4=\boxed{35/12}

Exercice 3 — Bernoulli

X

vaut 1 avec probabilité 0,3, sinon 0. Calculer

E(X)

V(X)

Corrigé détaillé

E(X)=0{,}3

E(X^2)=0{,}3

. Ainsi

V(X)=0{,}3-0{,}3^2=\boxed{0{,}21}

Exercice 4 — Gain d'un jeu

Un jeu rapporte 10 € avec probabilité 0,2 et fait perdre 2 € sinon. Quel est le gain espéré ?

Corrigé détaillé

L'espérance vaut

10\times0{,}2+(-2)\times0{,}8=2-1{,}6=\boxed{0{,}4\text{ €}}

Exercice 5 — Transformation affine

E(X)=3

V(X)=4

, calculer l'espérance et la variance de

Y=2X-5

Corrigé détaillé

E(Y)=2E(X)-5=\boxed1

V(Y)=2^2V(X)=\boxed{16}

; une translation ne change pas la variance.

Exercice 6 — Linéarité de l'espérance

E(X)=4

E(Y)=7

, calculer

E(X+Y)

. L'indépendance est-elle nécessaire ?

Corrigé détaillé

Par linéarité,

E(X+Y)=4+7=\boxed{11}

. Cette propriété est vraie même lorsque les variables ne sont pas indépendantes.

Exercice 7 — Variance d'une somme

X,Y

sont indépendantes avec

V(X)=2

V(Y)=3

, calculer la variance et l'écart-type de

X+Y

Corrigé détaillé

L'indépendance donne

V(X+Y)=2+3=\boxed5

puis

\sigma(X+Y)=\boxed{\sqrt5}

. Sans indépendance, il faudrait la covariance.

Exercice 8 — Loi uniforme discrète

X

prend uniformément 0, 1, 2, 3. Calculer

E(X)

Corrigé détaillé

Chaque valeur a probabilité

1/4

, donc

E(X)=(0+1+2+3)/4=\boxed{3/2}

Exercice 9 — Somme de trois Bernoulli

Trois épreuves indépendantes ont une probabilité de succès 1/2. Pour la somme

S

des succès, calculer

E(S)

V(S)

Corrigé détaillé

Chaque indicatrice a espérance

1/2

et variance

1/4

. On obtient

E(S)=3/2

et, par indépendance,

V(S)=3/4

Exercice 10 — Comparer deux jeux

Le jeu A rapporte 4 € avec probabilité 1/2 et 0 sinon ; B rapporte 2 € à coup sûr. Comparer moyenne et variance.

Corrigé détaillé

E(A)=2

E(A^2)=8

, donc

V(A)=8-4=4

. Pour B,

E(B)=2

V(B)=0

. Les espérances sont égales, mais B est sans dispersion.

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