Terminale spécialité maths

Limites de fonctions et asymptotes — 10 exercices corrigés Terminale

Limites infinies, asymptotes verticales et horizontales, croissance comparée avec l'exponentielle.

L'essentiel à retenir

Une limite finie $L$ de $f(x)$ lorsque $x\to+\infty$ donne l'asymptote horizontale $y=L$ .
Si $|f(x)|\to+\infty$ lorsque $x\to a$ d'un côté, la droite $x=a$ est asymptote verticale.
L'exponentielle domine les puissances : $x^n/e^x\to0$ lorsque $x\to+\infty$ .

Exercice 1 — Asymptote horizontale — cas 1

On considère

f(x)=\dfrac{1x+2}{x+1}

sur

]-1,+\infty[

.\n\n1. Calculer

\lim_{x\to+\infty}f(x)

.\n2. Réécrire

f(x)

sous la forme

1+c/(x+1)

.\n3. Préciser l'asymptote horizontale et la position de la courbe.

Corrigé détaillé

1. On divise numérateur et dénominateur par

x

f(x)=( 1+2/x)/(1+1/x)\to\boxed{1}

.\n\n2.

1x+2=1(x+1)+(2-1)

donc

f(x)=1+(1)/(x+1)

.\n\n3. La droite

y=1

est asymptote horizontale à droite. Puisque

x+1>0

sur le domaine, le signe de

f(x)-1

est celui de 1, d'où la position relative (égalité si ce nombre est nul).

Exercice 2 — Asymptote horizontale — cas 2

On considère

f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}

sur

]-1,+\infty[

.\n\n1. Calculer

\lim_{x\to+\infty}f(x)

.\n2. Réécrire

f(x)

sous la forme

2+c/(x+1)

.\n3. Préciser l'asymptote horizontale et la position de la courbe.

Corrigé détaillé

1. On divise numérateur et dénominateur par

x

f(x)=( 2+3/x)/(1+1/x)\to\boxed{2}

.\n\n2.

2x+3=2(x+1)+(3-2)

donc

f(x)=2+(1)/(x+1)

.\n\n3. La droite

y=2

est asymptote horizontale à droite. Puisque

x+1>0

sur le domaine, le signe de

f(x)-2

est celui de 1, d'où la position relative (égalité si ce nombre est nul).

Exercice 3 — Asymptote horizontale — cas 3

On considère

f(x)=\dfrac{3x+1}{x+1}

sur

]-1,+\infty[

.\n\n1. Calculer

\lim_{x\to+\infty}f(x)

.\n2. Réécrire

f(x)

sous la forme

3+c/(x+1)

.\n3. Préciser l'asymptote horizontale et la position de la courbe.

Corrigé détaillé

1. On divise numérateur et dénominateur par

x

f(x)=( 3+1/x)/(1+1/x)\to\boxed{3}

.\n\n2.

3x+1=3(x+1)+(1-3)

donc

f(x)=3+(-2)/(x+1)

.\n\n3. La droite

y=3

est asymptote horizontale à droite. Puisque

x+1>0

sur le domaine, le signe de

f(x)-3

est celui de -2, d'où la position relative (égalité si ce nombre est nul).

Exercice 4 — Asymptote horizontale — cas 4

On considère

f(x)=\dfrac{4x+3}{x+1}

sur

]-1,+\infty[

.\n\n1. Calculer

\lim_{x\to+\infty}f(x)

.\n2. Réécrire

f(x)

sous la forme

4+c/(x+1)

.\n3. Préciser l'asymptote horizontale et la position de la courbe.

Corrigé détaillé

1. On divise numérateur et dénominateur par

x

f(x)=( 4+3/x)/(1+1/x)\to\boxed{4}

.\n\n2.

4x+3=4(x+1)+(3-4)

donc

f(x)=4+(-1)/(x+1)

.\n\n3. La droite

y=4

est asymptote horizontale à droite. Puisque

x+1>0

sur le domaine, le signe de

f(x)-4

est celui de -1, d'où la position relative (égalité si ce nombre est nul).

Exercice 5 — Asymptote horizontale — cas 5

On considère

f(x)=\dfrac{5x+4}{x+1}

sur

]-1,+\infty[

.\n\n1. Calculer

\lim_{x\to+\infty}f(x)

.\n2. Réécrire

f(x)

sous la forme

5+c/(x+1)

.\n3. Préciser l'asymptote horizontale et la position de la courbe.

Corrigé détaillé

1. On divise numérateur et dénominateur par

x

f(x)=( 5+4/x)/(1+1/x)\to\boxed{5}

.\n\n2.

5x+4=5(x+1)+(4-5)

donc

f(x)=5+(-1)/(x+1)

.\n\n3. La droite

y=5

est asymptote horizontale à droite. Puisque

x+1>0

sur le domaine, le signe de

f(x)-5

est celui de -1, d'où la position relative (égalité si ce nombre est nul).

Exercice 6 — Limite en un point et asymptote verticale — cas 1

Sur

\mathbb R\setminus\{1\}

, soit

g(x)=\dfrac{2}{x-1}

.\n\n1. Étudier

\lim_{x\to 1^-}g(x)

.\n2. Étudier

\lim_{x\to 1^+}g(x)

.\n3. Nommer l'asymptote et indiquer son équation.

Corrigé détaillé

1. À gauche de 1,

x-1<0

et tend vers

0

, tandis que 2>0

:

g(x)\to-\infty

.\n\n**2.** À droite,

x-1>0

tend vers

:

g(x)\to+\infty

.\n\n**3.** La droite

\boxed{x=1}$ est une asymptote verticale. Les limites unilatérales sont opposées.

Exercice 7 — Limite en un point et asymptote verticale — cas 2

Sur

\mathbb R\setminus\{2\}

, soit

g(x)=\dfrac{3}{x-2}

.\n\n1. Étudier

\lim_{x\to 2^-}g(x)

.\n2. Étudier

\lim_{x\to 2^+}g(x)

.\n3. Nommer l'asymptote et indiquer son équation.

Corrigé détaillé

1. À gauche de 2,

x-2<0

et tend vers

0

, tandis que 3>0

:

g(x)\to-\infty

.\n\n**2.** À droite,

x-2>0

tend vers

:

g(x)\to+\infty

.\n\n**3.** La droite

\boxed{x=2}$ est une asymptote verticale. Les limites unilatérales sont opposées.

Exercice 8 — Limite en un point et asymptote verticale — cas 3

Sur

\mathbb R\setminus\{3\}

, soit

g(x)=\dfrac{4}{x-3}

.\n\n1. Étudier

\lim_{x\to 3^-}g(x)

.\n2. Étudier

\lim_{x\to 3^+}g(x)

.\n3. Nommer l'asymptote et indiquer son équation.

Corrigé détaillé

1. À gauche de 3,

x-3<0

et tend vers

0

, tandis que 4>0

:

g(x)\to-\infty

.\n\n**2.** À droite,

x-3>0

tend vers

:

g(x)\to+\infty

.\n\n**3.** La droite

\boxed{x=3}$ est une asymptote verticale. Les limites unilatérales sont opposées.

Exercice 9 — Croissance comparée — cas 1

Considérer

h(x)=x^{2}e^{-x}

pour

x\ge0

.\n\n1. Identifier la forme de la limite en

+\infty

.\n2. Utiliser le fait que

e^x/x^{2}\to+\infty

.\n3. Calculer

\lim_{x\to+\infty}h(x)

Corrigé détaillé

1. On trouve une forme indéterminée

+\infty\times0

.\n\n2. On écrit

h(x)=1/(e^x/x^{2})

pour

x>0

. La croissance comparée affirme que l'exponentielle domine toute puissance positive.\n\n3. Le dénominateur tend vers

+\infty

, d'où

\boxed{\lim h(x)=0}

. Cette méthode évite toute application invalide de produits de limites.

Exercice 10 — Croissance comparée — cas 2

Considérer

h(x)=x^{4}e^{-x}

pour

x\ge0

.\n\n1. Identifier la forme de la limite en

+\infty

.\n2. Utiliser le fait que

e^x/x^{4}\to+\infty

.\n3. Calculer

\lim_{x\to+\infty}h(x)

Corrigé détaillé

1. On trouve une forme indéterminée

+\infty\times0

.\n\n2. On écrit

h(x)=1/(e^x/x^{4})

pour

x>0

. La croissance comparée affirme que l'exponentielle domine toute puissance positive.\n\n3. Le dénominateur tend vers

+\infty

, d'où

\boxed{\lim h(x)=0}

. Cette méthode évite toute application invalide de produits de limites.

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