Terminale spécialité maths

Dérivation et étude de fonctions : 10 exercices corrigés en Terminale

Entraînez-vous sur dérivation et étude de fonctions avec 10 exercices progressifs et leurs corrections détaillées.

L'essentiel à retenir

  • La dérivée donne les variations lorsque son signe est étudié.
  • La tangente en aa a pour équation y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a).
  • Sur un intervalle, les extrema intérieurs d'une fonction dérivable peuvent apparaître aux points où f′=0f'=0.

Exercice 1 — Dérivée polynomiale

Étudier les variations de f(x)=x3−3x+2f(x)=x^3-3x+2 sur R\mathbb R.
Corrigé détaillé
f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1). Elle est positive sur ]−∞,−1[]-\infty,-1[ et ]1,+∞[]1,+\infty[, négative sur ]−1,1[]-1,1[. Donc ff croît, décroît, puis croît. f(−1)=4f(-1)=4 est maximum local et f(1)=0f(1)=0 minimum local.

Exercice 2 — Dérivée d'un quotient

Calculer la dérivée de f(x)=(2x+1)/(x−1)f(x)=(2x+1)/(x-1) puis son sens de variation sur chaque intervalle de définition.
Corrigé détaillé
Pour x≠1x\ne1, f′(x)=[2(x−1)−(2x+1)]/(x−1)2=−3/(x−1)2<0f'(x)=[2(x-1)-(2x+1)]/(x-1)^2=-3/(x-1)^2<0. La fonction est strictement décroissante sur ]−∞,1[]-\infty,1[ et sur ]1,+∞[]1,+\infty[. Ne pas prétendre qu'elle est décroissante sur l'union, qui n'est pas un intervalle.

Exercice 3 — Produit avec exponentielle

Dériver f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x} et déterminer son maximum sur [0,+∞[[0,+\infty[.
Corrigé détaillé
La dérivée du produit vaut f′(x)=e−x−xe−x=e−x(1−x)f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x). Comme l'exponentielle est positive, la dérivée est positive avant 11 et négative après. Le maximum vaut f(1)=1/ef(1)=1/e et est atteint pour x=1x=1.

Exercice 4 — Tangente en un point

Trouver l'équation de la tangente en x=2x=2 à f(x)=x2−3x+1f(x)=x^2-3x+1.
Corrigé détaillé
f(2)=4−6+1=−1f(2)=4-6+1=-1 et f′(x)=2x−3f'(x)=2x-3, donc f′(2)=1f'(2)=1. La tangente s'écrit y=−1+1(x−2)y=-1+1(x-2), soit y=x−3\boxed{y=x-3}. Elle passe bien par (2,−1)(2,-1).

Exercice 5 — Paramètre et dérivée

Étudier les variations de fa(x)=x2−2ax+1f_a(x)=x^2-2ax+1 selon a∈Ra\in\mathbb R et déterminer son minimum.
Corrigé détaillé
fa′(x)=2(x−a)f'_a(x)=2(x-a), négative pour x<ax<a puis positive pour x>ax>a. La fonction décroît jusqu'à aa, puis croît. Le minimum est fa(a)=a2−2a2+1=1−a2f_a(a)=a^2-2a^2+1=1-a^2, atteint en x=ax=a.

Exercice 6 — Fonction racine

Dériver f(x)=2x+3f(x)=\sqrt{2x+3} pour x>−3/2x>-3/2 puis calculer la pente en x=3x=3.
Corrigé détaillé
La formule de chaîne donne f′(x)=2/[22x+3]=1/2x+3f'(x)=2/[2\sqrt{2x+3}]=1/\sqrt{2x+3}. Au point 33, la pente vaut 1/9=1/31/\sqrt9=1/3. La fonction est strictement croissante sur son domaine.

Exercice 7 — Nombre de solutions

Montrer que l'équation x3−3x=0x^3-3x=0 a exactement trois solutions réelles à l'aide d'une étude de fonction.
Corrigé détaillé
Pour f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x, f′(x)=3(x2−1)f'(x)=3(x^2-1). Les variations montrent au plus une solution sur chacun de ]−∞,−1]]-\infty,-1], [−1,1][-1,1], [1,+∞[[1,+\infty[. Comme f(x)=x(x2−3)f(x)=x(x^2-3), on obtient exactement −3-\sqrt3, 00, 3\sqrt3.

Exercice 8 — Optimiser une aire

Parmi les rectangles de périmètre 2020 cm, déterminer celui d'aire maximale.
Corrigé détaillé
Si les côtés valent xx et 10−x10-x avec 0<x<100<x<10, l'aire est A(x)=x(10−x)=10x−x2A(x)=x(10-x)=10x-x^2. A′(x)=10−2xA'(x)=10-2x, positive avant 55, négative après. L'aire maximale est 2525 cm², atteinte pour le carré de côté 55 cm.

Exercice 9 — Dérivée de fonction composée

Dériver f(x)=(x2+1)5f(x)=(x^2+1)^5 puis calculer f′(1)f'(1).
Corrigé détaillé
Par composition, f′(x)=5(x2+1)4⋅2x=10x(x2+1)4f'(x)=5(x^2+1)^4\cdot2x=10x(x^2+1)^4. Ainsi f′(1)=10⋅24=160f'(1)=10\cdot2^4=\boxed{160}. L'étape importante consiste à dériver également l'expression intérieure.

Exercice 10 — Étude complète rationnelle

Étudier les limites et variations de f(x)=x+1/xf(x)=x+1/x sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Corrigé détaillé
f′(x)=1−1/x2=(x2−1)/x2f'(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2 : négative sur ]0,1[]0,1[, nulle en 11, positive après. f(x)→+∞f(x)\to+\infty quand x→0+x\to0^+ et quand x→+∞x\to+\infty. Le minimum global est f(1)=2f(1)=2. La droite y=xy=x est asymptote oblique à l'infini car f(x)−x=1/x→0f(x)-x=1/x\to0.

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