Terminale spécialité maths

Suites et raisonnement par récurrence — 10 exercices corrigés Terminale

Suites explicites et récurrentes, comparaison à un point fixe, convergence et raisonnement par récurrence.

L'essentiel à retenir

  • Pour une suite géométrique un=u0qnu_n=u_0q^n ; si ∣q∣<1|q|<1, un→0u_n\to0.
  • Pour un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b, rechercher le point fixe ℓ\ell tel que ℓ=aℓ+b\ell=a\ell+b puis poser vn=un−ℓv_n=u_n-\ell.
  • Une preuve par récurrence comporte initialisation, hypothèse et hérédité.

Exercice 1 — Suite affine et récurrence — cas 1

On définit u0=1u_0=1 et un+1=un+32u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{2}.\n\n1. Trouver la valeur fixe ℓ\ell.\n2. Montrer que vn=un−ℓv_n=u_n-\ell est géométrique et exprimer unu_n.\n3. Déterminer la limite et le sens de variation de (un)(u_n).
Corrigé détaillé
1. Point fixe. ℓ=(ℓ+3)/2\ell=(\ell+3)/2 donne (2−1)ℓ=3(2-1)\ell=3, soit ℓ=3/1\boxed{\ell=3/1}.\n\n2. Translation. vn+1=un+1−ℓ=(un−ℓ)/2=vn/2v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=(u_n-\ell)/2=v_n/2. Donc vn=(1−3/1)(2−n)v_n=(1-3/1)(2^{-n}), d'où un=3/1+(1−3/1)/2n\boxed{u_n=3/1+(1-3/1)/2^n}.\n\n3. Convergence. Puisque 1/2<11/2<1, un→ℓu_n\to\ell. Si u0>ℓu_0>\ell, elle décroît ; si u0<ℓu_0<\ell, elle croît ; si u0=ℓu_0=\ell, elle est constante. Ici, comparer 1 et 3/1 puis conclure.

Exercice 2 — Suite affine et récurrence — cas 2

On définit u0=0u_0=0 et un+1=un+23u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{3}.\n\n1. Trouver la valeur fixe ℓ\ell.\n2. Montrer que vn=un−ℓv_n=u_n-\ell est géométrique et exprimer unu_n.\n3. Déterminer la limite et le sens de variation de (un)(u_n).
Corrigé détaillé
1. Point fixe. ℓ=(ℓ+2)/3\ell=(\ell+2)/3 donne (3−1)ℓ=2(3-1)\ell=2, soit ℓ=2/2\boxed{\ell=2/2}.\n\n2. Translation. vn+1=un+1−ℓ=(un−ℓ)/3=vn/3v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=(u_n-\ell)/3=v_n/3. Donc vn=(0−2/2)(3−n)v_n=(0-2/2)(3^{-n}), d'où un=2/2+(0−2/2)/3n\boxed{u_n=2/2+(0-2/2)/3^n}.\n\n3. Convergence. Puisque 1/3<11/3<1, un→ℓu_n\to\ell. Si u0>ℓu_0>\ell, elle décroît ; si u0<ℓu_0<\ell, elle croît ; si u0=ℓu_0=\ell, elle est constante. Ici, comparer 0 et 2/2 puis conclure.

Exercice 3 — Suite affine et récurrence — cas 3

On définit u0=2u_0=2 et un+1=un+34u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{4}.\n\n1. Trouver la valeur fixe ℓ\ell.\n2. Montrer que vn=un−ℓv_n=u_n-\ell est géométrique et exprimer unu_n.\n3. Déterminer la limite et le sens de variation de (un)(u_n).
Corrigé détaillé
1. Point fixe. ℓ=(ℓ+3)/4\ell=(\ell+3)/4 donne (4−1)ℓ=3(4-1)\ell=3, soit ℓ=3/3\boxed{\ell=3/3}.\n\n2. Translation. vn+1=un+1−ℓ=(un−ℓ)/4=vn/4v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=(u_n-\ell)/4=v_n/4. Donc vn=(2−3/3)(4−n)v_n=(2-3/3)(4^{-n}), d'où un=3/3+(2−3/3)/4n\boxed{u_n=3/3+(2-3/3)/4^n}.\n\n3. Convergence. Puisque 1/4<11/4<1, un→ℓu_n\to\ell. Si u0>ℓu_0>\ell, elle décroît ; si u0<ℓu_0<\ell, elle croît ; si u0=ℓu_0=\ell, elle est constante. Ici, comparer 2 et 3/3 puis conclure.

Exercice 4 — Suite affine et récurrence — cas 4

On définit u0=5u_0=5 et un+1=un+42u_{n+1}=\dfrac{u_n+4}{2}.\n\n1. Trouver la valeur fixe ℓ\ell.\n2. Montrer que vn=un−ℓv_n=u_n-\ell est géométrique et exprimer unu_n.\n3. Déterminer la limite et le sens de variation de (un)(u_n).
Corrigé détaillé
1. Point fixe. ℓ=(ℓ+4)/2\ell=(\ell+4)/2 donne (2−1)ℓ=4(2-1)\ell=4, soit ℓ=4/1\boxed{\ell=4/1}.\n\n2. Translation. vn+1=un+1−ℓ=(un−ℓ)/2=vn/2v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=(u_n-\ell)/2=v_n/2. Donc vn=(5−4/1)(2−n)v_n=(5-4/1)(2^{-n}), d'où un=4/1+(5−4/1)/2n\boxed{u_n=4/1+(5-4/1)/2^n}.\n\n3. Convergence. Puisque 1/2<11/2<1, un→ℓu_n\to\ell. Si u0>ℓu_0>\ell, elle décroît ; si u0<ℓu_0<\ell, elle croît ; si u0=ℓu_0=\ell, elle est constante. Ici, comparer 5 et 4/1 puis conclure.

Exercice 5 — Suite affine et récurrence — cas 5

On définit u0=1u_0=1 et un+1=un+25u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{5}.\n\n1. Trouver la valeur fixe ℓ\ell.\n2. Montrer que vn=un−ℓv_n=u_n-\ell est géométrique et exprimer unu_n.\n3. Déterminer la limite et le sens de variation de (un)(u_n).
Corrigé détaillé
1. Point fixe. ℓ=(ℓ+2)/5\ell=(\ell+2)/5 donne (5−1)ℓ=2(5-1)\ell=2, soit ℓ=2/4\boxed{\ell=2/4}.\n\n2. Translation. vn+1=un+1−ℓ=(un−ℓ)/5=vn/5v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=(u_n-\ell)/5=v_n/5. Donc vn=(1−2/4)(5−n)v_n=(1-2/4)(5^{-n}), d'où un=2/4+(1−2/4)/5n\boxed{u_n=2/4+(1-2/4)/5^n}.\n\n3. Convergence. Puisque 1/5<11/5<1, un→ℓu_n\to\ell. Si u0>ℓu_0>\ell, elle décroît ; si u0<ℓu_0<\ell, elle croît ; si u0=ℓu_0=\ell, elle est constante. Ici, comparer 1 et 2/4 puis conclure.

Exercice 6 — Suite affine et récurrence — cas 6

On définit u0=2u_0=2 et un+1=un+43u_{n+1}=\dfrac{u_n+4}{3}.\n\n1. Trouver la valeur fixe ℓ\ell.\n2. Montrer que vn=un−ℓv_n=u_n-\ell est géométrique et exprimer unu_n.\n3. Déterminer la limite et le sens de variation de (un)(u_n).
Corrigé détaillé
1. Point fixe. ℓ=(ℓ+4)/3\ell=(\ell+4)/3 donne (3−1)ℓ=4(3-1)\ell=4, soit ℓ=4/2\boxed{\ell=4/2}.\n\n2. Translation. vn+1=un+1−ℓ=(un−ℓ)/3=vn/3v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=(u_n-\ell)/3=v_n/3. Donc vn=(2−4/2)(3−n)v_n=(2-4/2)(3^{-n}), d'où un=4/2+(2−4/2)/3n\boxed{u_n=4/2+(2-4/2)/3^n}.\n\n3. Convergence. Puisque 1/3<11/3<1, un→ℓu_n\to\ell. Si u0>ℓu_0>\ell, elle décroît ; si u0<ℓu_0<\ell, elle croît ; si u0=ℓu_0=\ell, elle est constante. Ici, comparer 2 et 4/2 puis conclure.

Exercice 7 — Suite géométrique et franchissement d'un seuil — cas 1

Une quantité suit u0=200u_0=200 et un+1=dfrac23unu_{n+1}=\\dfrac{2}{3}u_n.\n\n1. Donner la nature et l'expression de unu_n.\n2. Montrer que unto0u_n\\to0.\n3. Déterminer le premier rang nn où un<u0/2u_n<u_0/2.
Corrigé détaillé
1. La suite est géométrique, de raison q=2/3q=2/3 ; donc un=200(2/3)nu_n=200(2/3)^n.\n\n2. Puisque 0<q<10<q<1, unto0u_n\\to0.\n\n3. L'inégalité un<u0/2u_n<u_0/2 équivaut à qn<1/2q^n<1/2, soit n>ln(1/2)/ln(2/3)n>\\ln(1/2)/\\ln(2/3). Le plus petit entier est n=2n=2 pour q=2/3q=2/3 ou n=3n=3 pour q=3/4q=3/4 : vérifier qn−1ge1/2>qnq^{n-1}\\ge1/2>q^n.

Exercice 8 — Suite géométrique et franchissement d'un seuil — cas 2

Une quantité suit u0=200u_0=200 et un+1=dfrac34unu_{n+1}=\\dfrac{3}{4}u_n.\n\n1. Donner la nature et l'expression de unu_n.\n2. Montrer que unto0u_n\\to0.\n3. Déterminer le premier rang nn où un<u0/2u_n<u_0/2.
Corrigé détaillé
1. La suite est géométrique, de raison q=3/4q=3/4 ; donc un=200(3/4)nu_n=200(3/4)^n.\n\n2. Puisque 0<q<10<q<1, unto0u_n\\to0.\n\n3. L'inégalité un<u0/2u_n<u_0/2 équivaut à qn<1/2q^n<1/2, soit n>ln(1/2)/ln(3/4)n>\\ln(1/2)/\\ln(3/4). Le plus petit entier est n=2n=2 pour q=2/3q=2/3 ou n=3n=3 pour q=3/4q=3/4 : vérifier qn−1ge1/2>qnq^{n-1}\\ge1/2>q^n.

Exercice 9 — Récurrence : somme des entiers — étape 1

Pour n≥1n\ge1, on considère Sn=∑k=1nkS_n=\sum_{k=1}^{n}k.\n\n1. Vérifier au rang 4 que Sn=n(n+1)/2S_n=n(n+1)/2.\n2. Effectuer l'hérédité du rang nn au rang n+1n+1.\n3. Déduire S20S_{20}.
Corrigé détaillé
1. Initialisation. Au rang 4, la somme calculée directement vaut 1010 et la formule 4(4+1)/24(4+1)/2 donne la même valeur. La démonstration complète commence à n=1n=1, où les deux membres valent 11.\n\n2. Hérédité. Si Sn=n(n+1)/2S_n=n(n+1)/2, alors Sn+1=Sn+(n+1)=(n+1)(n/2+1)=(n+1)(n+2)/2S_{n+1}=S_n+(n+1)=(n+1)(n/2+1)=(n+1)(n+2)/2.\n\n3. Conclusion. La propriété est vraie pour tout n≥1n\ge1. Ainsi S20=20(20+1)/2=210S_{20}=20(20+1)/2=\boxed{210}.

Exercice 10 — Récurrence : somme des entiers — étape 2

Pour n≥1n\ge1, on considère Sn=∑k=1nkS_n=\sum_{k=1}^{n}k.\n\n1. Vérifier au rang 7 que Sn=n(n+1)/2S_n=n(n+1)/2.\n2. Effectuer l'hérédité du rang nn au rang n+1n+1.\n3. Déduire S35S_{35}.
Corrigé détaillé
1. Initialisation. Au rang 7, la somme calculée directement vaut 2828 et la formule 7(7+1)/27(7+1)/2 donne la même valeur. La démonstration complète commence à n=1n=1, où les deux membres valent 11.\n\n2. Hérédité. Si Sn=n(n+1)/2S_n=n(n+1)/2, alors Sn+1=Sn+(n+1)=(n+1)(n/2+1)=(n+1)(n+2)/2S_{n+1}=S_n+(n+1)=(n+1)(n/2+1)=(n+1)(n+2)/2.\n\n3. Conclusion. La propriété est vraie pour tout n≥1n\ge1. Ainsi S35=35(35+1)/2=630S_{35}=35(35+1)/2=\boxed{630}.

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