Terminale spécialité maths

Limites de suites et comparaison — 10 exercices corrigés Terminale

Calculer une limite de suite à l'aide de la factorisation, de la rationalisation et du théorème des gendarmes.

L'essentiel à retenir

  • Diviser par la plus grande puissance de nn pour un quotient polynomial.
  • On peut rationaliser n2+an−n\sqrt{n^2+an}-n en multipliant par le conjugué.
  • Si an≤un≤bna_n\le u_n\le b_n et an,bn→La_n,b_n\to L, alors un→Lu_n\to L.

Exercice 1 — Limite d'un quotient de polynômes — cas 1

Soit un=1n2+2n+13n2+2n+3u_n=\dfrac{1n^2+2n+1}{3n^2+2n+3}.\n\n1. Diviser le numérateur et le dénominateur par n2n^2.\n2. Déterminer la limite.\n3. Donner un encadrement à partir d'un certain rang pour justifier que la suite est bornée.
Corrigé détaillé
1. Réécriture. un=1+(2)/n+1/n23+2/n+3/n2u_n=\dfrac{1+(2)/n+1/n^2}{3+2/n+3/n^2} pour n≥1n\ge1.\n\n2. Passage à la limite. Les termes en 1/n1/n et 1/n21/n^2 tendent vers zéro ; le dénominateur tend vers 3>0.Donc. Donc \boxed{u_n\to 1/3}.\n\n∗∗3.Bornitude.∗∗Numeˊrateuretdeˊnominateursontstrictementpositifs.Pour.\n\n**3. Bornitude.** Numérateur et dénominateur sont strictement positifs. Pour n\ge1,lenumeˊrateurdiviseˊpar, le numérateur divisé par n^2estauplus1+(2)+1=4etledeˊnominateuraumoins3.D′ouˋest au plus 1+(2)+1=4 et le dénominateur au moins 3. D'où0<u_n\le4/3$ : la suite est bornée.

Exercice 2 — Limite d'un quotient de polynômes — cas 2

Soit un=2n2+3n+14n2+2n+3u_n=\dfrac{2n^2+3n+1}{4n^2+2n+3}.\n\n1. Diviser le numérateur et le dénominateur par n2n^2.\n2. Déterminer la limite.\n3. Donner un encadrement à partir d'un certain rang pour justifier que la suite est bornée.
Corrigé détaillé
1. Réécriture. un=2+(3)/n+1/n24+2/n+3/n2u_n=\dfrac{2+(3)/n+1/n^2}{4+2/n+3/n^2} pour n≥1n\ge1.\n\n2. Passage à la limite. Les termes en 1/n1/n et 1/n21/n^2 tendent vers zéro ; le dénominateur tend vers 4>0.Donc. Donc \boxed{u_n\to 2/4}.\n\n∗∗3.Bornitude.∗∗Numeˊrateuretdeˊnominateursontstrictementpositifs.Pour.\n\n**3. Bornitude.** Numérateur et dénominateur sont strictement positifs. Pour n\ge1,lenumeˊrateurdiviseˊpar, le numérateur divisé par n^2estauplus2+(3)+1=6etledeˊnominateuraumoins4.D′ouˋest au plus 2+(3)+1=6 et le dénominateur au moins 4. D'où0<u_n\le6/4$ : la suite est bornée.

Exercice 3 — Limite d'un quotient de polynômes — cas 3

Soit un=3n2+4n+15n2+2n+3u_n=\dfrac{3n^2+4n+1}{5n^2+2n+3}.\n\n1. Diviser le numérateur et le dénominateur par n2n^2.\n2. Déterminer la limite.\n3. Donner un encadrement à partir d'un certain rang pour justifier que la suite est bornée.
Corrigé détaillé
1. Réécriture. un=3+(4)/n+1/n25+2/n+3/n2u_n=\dfrac{3+(4)/n+1/n^2}{5+2/n+3/n^2} pour n≥1n\ge1.\n\n2. Passage à la limite. Les termes en 1/n1/n et 1/n21/n^2 tendent vers zéro ; le dénominateur tend vers 5>0.Donc. Donc \boxed{u_n\to 3/5}.\n\n∗∗3.Bornitude.∗∗Numeˊrateuretdeˊnominateursontstrictementpositifs.Pour.\n\n**3. Bornitude.** Numérateur et dénominateur sont strictement positifs. Pour n\ge1,lenumeˊrateurdiviseˊpar, le numérateur divisé par n^2estauplus3+(4)+1=8etledeˊnominateuraumoins5.D′ouˋest au plus 3+(4)+1=8 et le dénominateur au moins 5. D'où0<u_n\le8/5$ : la suite est bornée.

Exercice 4 — Limite d'un quotient de polynômes — cas 4

Soit un=4n2+5n+16n2+2n+3u_n=\dfrac{4n^2+5n+1}{6n^2+2n+3}.\n\n1. Diviser le numérateur et le dénominateur par n2n^2.\n2. Déterminer la limite.\n3. Donner un encadrement à partir d'un certain rang pour justifier que la suite est bornée.
Corrigé détaillé
1. Réécriture. un=4+(5)/n+1/n26+2/n+3/n2u_n=\dfrac{4+(5)/n+1/n^2}{6+2/n+3/n^2} pour n≥1n\ge1.\n\n2. Passage à la limite. Les termes en 1/n1/n et 1/n21/n^2 tendent vers zéro ; le dénominateur tend vers 6>0.Donc. Donc \boxed{u_n\to 4/6}.\n\n∗∗3.Bornitude.∗∗Numeˊrateuretdeˊnominateursontstrictementpositifs.Pour.\n\n**3. Bornitude.** Numérateur et dénominateur sont strictement positifs. Pour n\ge1,lenumeˊrateurdiviseˊpar, le numérateur divisé par n^2estauplus4+(5)+1=10etledeˊnominateuraumoins6.D′ouˋest au plus 4+(5)+1=10 et le dénominateur au moins 6. D'où0<u_n\le10/6$ : la suite est bornée.

Exercice 5 — Limite d'un quotient de polynômes — cas 5

Soit un=5n2+6n+17n2+2n+3u_n=\dfrac{5n^2+6n+1}{7n^2+2n+3}.\n\n1. Diviser le numérateur et le dénominateur par n2n^2.\n2. Déterminer la limite.\n3. Donner un encadrement à partir d'un certain rang pour justifier que la suite est bornée.
Corrigé détaillé
1. Réécriture. un=5+(6)/n+1/n27+2/n+3/n2u_n=\dfrac{5+(6)/n+1/n^2}{7+2/n+3/n^2} pour n≥1n\ge1.\n\n2. Passage à la limite. Les termes en 1/n1/n et 1/n21/n^2 tendent vers zéro ; le dénominateur tend vers 7>0.Donc. Donc \boxed{u_n\to 5/7}.\n\n∗∗3.Bornitude.∗∗Numeˊrateuretdeˊnominateursontstrictementpositifs.Pour.\n\n**3. Bornitude.** Numérateur et dénominateur sont strictement positifs. Pour n\ge1,lenumeˊrateurdiviseˊpar, le numérateur divisé par n^2estauplus5+(6)+1=12etledeˊnominateuraumoins7.D′ouˋest au plus 5+(6)+1=12 et le dénominateur au moins 7. D'où0<u_n\le12/7$ : la suite est bornée.

Exercice 6 — Suite avec racine carrée — cas 1

Pour n≥1n\ge1, on définit vn=n2+2n−nv_n=\sqrt{n^2+2n}-n.\n\n1. Multiplier par l'expression conjuguée.\n2. Calculer lim⁡vn\lim v_n.\n3. Expliquer pourquoi vnv_n est positive.
Corrigé détaillé
1. vn=2nn2+2n+n=21+2/n+1v_n=\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}=\dfrac{2}{\sqrt{1+2/n}+1}.\n\n2. On a 1+2/n→1\sqrt{1+2/n}\to1. Donc vn→22=1v_n\to\dfrac{2}2=\boxed{1}.\n\n3. Comme n2+2n>n2n^2+2n>n^2 pour n>0n>0, on a n2+2n>n\sqrt{n^2+2n}>n, donc vn>0v_n>0.

Exercice 7 — Suite avec racine carrée — cas 2

Pour n≥1n\ge1, on définit vn=n2+4n−nv_n=\sqrt{n^2+4n}-n.\n\n1. Multiplier par l'expression conjuguée.\n2. Calculer lim⁡vn\lim v_n.\n3. Expliquer pourquoi vnv_n est positive.
Corrigé détaillé
1. vn=4nn2+4n+n=41+4/n+1v_n=\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\dfrac{4}{\sqrt{1+4/n}+1}.\n\n2. On a 1+4/n→1\sqrt{1+4/n}\to1. Donc vn→42=2v_n\to\dfrac{4}2=\boxed{2}.\n\n3. Comme n2+4n>n2n^2+4n>n^2 pour n>0n>0, on a n2+4n>n\sqrt{n^2+4n}>n, donc vn>0v_n>0.

Exercice 8 — Suite avec racine carrée — cas 3

Pour n≥1n\ge1, on définit vn=n2+6n−nv_n=\sqrt{n^2+6n}-n.\n\n1. Multiplier par l'expression conjuguée.\n2. Calculer lim⁡vn\lim v_n.\n3. Expliquer pourquoi vnv_n est positive.
Corrigé détaillé
1. vn=6nn2+6n+n=61+6/n+1v_n=\dfrac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}=\dfrac{6}{\sqrt{1+6/n}+1}.\n\n2. On a 1+6/n→1\sqrt{1+6/n}\to1. Donc vn→62=3v_n\to\dfrac{6}2=\boxed{3}.\n\n3. Comme n2+6n>n2n^2+6n>n^2 pour n>0n>0, on a n2+6n>n\sqrt{n^2+6n}>n, donc vn>0v_n>0.

Exercice 9 — Théorème des gendarmes — cas 1

Posons wn=sin⁡(n)n+1+(1/2)nw_n=\dfrac{\sin(n)}{n+1}+(1/2)^n pour n≥1n\ge1.\n\n1. Encadrer le terme trigonométrique.\n2. Étudier la suite géométrique.\n3. Conclure sur wnw_n.
Corrigé détaillé
1. Comme −1≤sin⁡(n)≤1-1\le\sin(n)\le1, on a −1/(n+1)≤sin⁡(n)/(n+1)≤1/(n+1)-1/(n+1)\le\sin(n)/(n+1)\le1/(n+1). Ces deux bornes tendent vers zéro.\n\n2. La raison q=1/2q=1/2 vérifie 0<q<10<q<1, donc qn→0q^n\to0.\n\n3. Par le théorème des gendarmes et la somme des limites, wn→0\boxed{w_n\to0}.

Exercice 10 — Théorème des gendarmes — cas 2

Posons wn=sin⁡(n)n+2+(2/3)nw_n=\dfrac{\sin(n)}{n+2}+(2/3)^n pour n≥1n\ge1.\n\n1. Encadrer le terme trigonométrique.\n2. Étudier la suite géométrique.\n3. Conclure sur wnw_n.
Corrigé détaillé
1. Comme −1≤sin⁡(n)≤1-1\le\sin(n)\le1, on a −1/(n+2)≤sin⁡(n)/(n+2)≤1/(n+2)-1/(n+2)\le\sin(n)/(n+2)\le1/(n+2). Ces deux bornes tendent vers zéro.\n\n2. La raison q=2/3q=2/3 vérifie 0<q<10<q<1, donc qn→0q^n\to0.\n\n3. Par le théorème des gendarmes et la somme des limites, wn→0\boxed{w_n\to0}.

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