Terminale spécialité maths

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — 10 exercices corrigés Terminale

TVI, unicité d'une solution et méthode de dichotomie ; limites en un point et prolongement par continuité.

L'essentiel à retenir

  • Une fonction continue sur [a,b][a,b] prend toute valeur intermédiaire entre f(a)f(a) et f(b)f(b).
  • Si la fonction est en plus strictement monotone, la solution d'une équation f(x)=kf(x)=k est unique.
  • Pour être continue en aa, une fonction doit vérifier f(a)=lim⁡x→af(x)f(a)=\lim_{x\to a}f(x).

Exercice 1 — TVI et unicité d'une racine — cas 1

On définit f(x)=x3+1x−1f(x)=x^3+1x-1 sur [0,1][0,1].\n\n1. Vérifier les conditions du théorème des valeurs intermédiaires.\n2. Montrer l'existence et l'unicité d'une racine α∈]0,1[\alpha\in]0,1[.\n3. Donner une méthode de dichotomie pour l'approcher à 10−210^{-2} près.
Corrigé détaillé
1. Un polynôme est continu. Ici f(0)=−1<0f(0)=-1<0 et f(1)=1+1−1=1>0f(1)=1+1-1=1>0.\n\n2. Le TVI donne α∈]0,1[\alpha\in]0,1[ tel que f(α)=0f(\alpha)=0. De plus f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^2+1>0 pour tout xx, donc ff est strictement croissante : la racine est unique.\n\n3. Partir de [a0,b0]=[0,1][a_0,b_0]=[0,1]. À chaque étape, tester m=(a+b)/2m=(a+b)/2 ; conserver la moitié où ff change de signe. Après 7 étapes, la largeur vaut 1/128<0,011/128<0{,}01, donnant une approximation de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Exercice 2 — TVI et unicité d'une racine — cas 2

On définit f(x)=x3+2x−2f(x)=x^3+2x-2 sur [0,1][0,1].\n\n1. Vérifier les conditions du théorème des valeurs intermédiaires.\n2. Montrer l'existence et l'unicité d'une racine α∈]0,1[\alpha\in]0,1[.\n3. Donner une méthode de dichotomie pour l'approcher à 10−210^{-2} près.
Corrigé détaillé
1. Un polynôme est continu. Ici f(0)=−2<0f(0)=-2<0 et f(1)=1+2−2=1>0f(1)=1+2-2=1>0.\n\n2. Le TVI donne α∈]0,1[\alpha\in]0,1[ tel que f(α)=0f(\alpha)=0. De plus f′(x)=3x2+2>0f'(x)=3x^2+2>0 pour tout xx, donc ff est strictement croissante : la racine est unique.\n\n3. Partir de [a0,b0]=[0,1][a_0,b_0]=[0,1]. À chaque étape, tester m=(a+b)/2m=(a+b)/2 ; conserver la moitié où ff change de signe. Après 7 étapes, la largeur vaut 1/128<0,011/128<0{,}01, donnant une approximation de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Exercice 3 — TVI et unicité d'une racine — cas 3

On définit f(x)=x3+3x−3f(x)=x^3+3x-3 sur [0,1][0,1].\n\n1. Vérifier les conditions du théorème des valeurs intermédiaires.\n2. Montrer l'existence et l'unicité d'une racine α∈]0,1[\alpha\in]0,1[.\n3. Donner une méthode de dichotomie pour l'approcher à 10−210^{-2} près.
Corrigé détaillé
1. Un polynôme est continu. Ici f(0)=−3<0f(0)=-3<0 et f(1)=1+3−3=1>0f(1)=1+3-3=1>0.\n\n2. Le TVI donne α∈]0,1[\alpha\in]0,1[ tel que f(α)=0f(\alpha)=0. De plus f′(x)=3x2+3>0f'(x)=3x^2+3>0 pour tout xx, donc ff est strictement croissante : la racine est unique.\n\n3. Partir de [a0,b0]=[0,1][a_0,b_0]=[0,1]. À chaque étape, tester m=(a+b)/2m=(a+b)/2 ; conserver la moitié où ff change de signe. Après 7 étapes, la largeur vaut 1/128<0,011/128<0{,}01, donnant une approximation de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Exercice 4 — TVI et unicité d'une racine — cas 4

On définit f(x)=x3+4x−4f(x)=x^3+4x-4 sur [0,1][0,1].\n\n1. Vérifier les conditions du théorème des valeurs intermédiaires.\n2. Montrer l'existence et l'unicité d'une racine α∈]0,1[\alpha\in]0,1[.\n3. Donner une méthode de dichotomie pour l'approcher à 10−210^{-2} près.
Corrigé détaillé
1. Un polynôme est continu. Ici f(0)=−4<0f(0)=-4<0 et f(1)=1+4−4=1>0f(1)=1+4-4=1>0.\n\n2. Le TVI donne α∈]0,1[\alpha\in]0,1[ tel que f(α)=0f(\alpha)=0. De plus f′(x)=3x2+4>0f'(x)=3x^2+4>0 pour tout xx, donc ff est strictement croissante : la racine est unique.\n\n3. Partir de [a0,b0]=[0,1][a_0,b_0]=[0,1]. À chaque étape, tester m=(a+b)/2m=(a+b)/2 ; conserver la moitié où ff change de signe. Après 7 étapes, la largeur vaut 1/128<0,011/128<0{,}01, donnant une approximation de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Exercice 5 — TVI et unicité d'une racine — cas 5

On définit f(x)=x3+5x−5f(x)=x^3+5x-5 sur [0,1][0,1].\n\n1. Vérifier les conditions du théorème des valeurs intermédiaires.\n2. Montrer l'existence et l'unicité d'une racine α∈]0,1[\alpha\in]0,1[.\n3. Donner une méthode de dichotomie pour l'approcher à 10−210^{-2} près.
Corrigé détaillé
1. Un polynôme est continu. Ici f(0)=−5<0f(0)=-5<0 et f(1)=1+5−5=1>0f(1)=1+5-5=1>0.\n\n2. Le TVI donne α∈]0,1[\alpha\in]0,1[ tel que f(α)=0f(\alpha)=0. De plus f′(x)=3x2+5>0f'(x)=3x^2+5>0 pour tout xx, donc ff est strictement croissante : la racine est unique.\n\n3. Partir de [a0,b0]=[0,1][a_0,b_0]=[0,1]. À chaque étape, tester m=(a+b)/2m=(a+b)/2 ; conserver la moitié où ff change de signe. Après 7 étapes, la largeur vaut 1/128<0,011/128<0{,}01, donnant une approximation de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Exercice 6 — TVI et unicité d'une racine — cas 6

On définit f(x)=x3+6x−6f(x)=x^3+6x-6 sur [0,1][0,1].\n\n1. Vérifier les conditions du théorème des valeurs intermédiaires.\n2. Montrer l'existence et l'unicité d'une racine α∈]0,1[\alpha\in]0,1[.\n3. Donner une méthode de dichotomie pour l'approcher à 10−210^{-2} près.
Corrigé détaillé
1. Un polynôme est continu. Ici f(0)=−6<0f(0)=-6<0 et f(1)=1+6−6=1>0f(1)=1+6-6=1>0.\n\n2. Le TVI donne α∈]0,1[\alpha\in]0,1[ tel que f(α)=0f(\alpha)=0. De plus f′(x)=3x2+6>0f'(x)=3x^2+6>0 pour tout xx, donc ff est strictement croissante : la racine est unique.\n\n3. Partir de [a0,b0]=[0,1][a_0,b_0]=[0,1]. À chaque étape, tester m=(a+b)/2m=(a+b)/2 ; conserver la moitié où ff change de signe. Après 7 étapes, la largeur vaut 1/128<0,011/128<0{,}01, donnant une approximation de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Exercice 7 — Raccordement de continuité — cas 1

Pour x≠1x\ne1, soit g(x)=x2−1x−1g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} et g(1)=kg(1)=k.\n\n1. Simplifier pour x≠1x\ne1.\n2. Calculer la limite en 1.\n3. Déterminer kk pour rendre gg continue.
Corrigé détaillé
1. x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1), donc g(x)=x+1g(x)=x+1 lorsque x≠1x\ne1.\n\n2. La limite lorsque x→1x\to1 vaut 2\boxed{2}.\n\n3. La continuité en 1 signifie g(1)=lim⁡x→1g(x)g(1)=\lim_{x\to1}g(x), d'où k=2k=2. Toute autre valeur créerait une discontinuité amovible.

Exercice 8 — Raccordement de continuité — cas 2

Pour x≠2x\ne2, soit g(x)=x2−4x−2g(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2} et g(2)=kg(2)=k.\n\n1. Simplifier pour x≠2x\ne2.\n2. Calculer la limite en 2.\n3. Déterminer kk pour rendre gg continue.
Corrigé détaillé
1. x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2), donc g(x)=x+2g(x)=x+2 lorsque x≠2x\ne2.\n\n2. La limite lorsque x→2x\to2 vaut 4\boxed{4}.\n\n3. La continuité en 2 signifie g(2)=lim⁡x→2g(x)g(2)=\lim_{x\to2}g(x), d'où k=4k=4. Toute autre valeur créerait une discontinuité amovible.

Exercice 9 — Raccordement de continuité — cas 3

Pour x≠3x\ne3, soit g(x)=x2−9x−3g(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3} et g(3)=kg(3)=k.\n\n1. Simplifier pour x≠3x\ne3.\n2. Calculer la limite en 3.\n3. Déterminer kk pour rendre gg continue.
Corrigé détaillé
1. x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3), donc g(x)=x+3g(x)=x+3 lorsque x≠3x\ne3.\n\n2. La limite lorsque x→3x\to3 vaut 6\boxed{6}.\n\n3. La continuité en 3 signifie g(3)=lim⁡x→3g(x)g(3)=\lim_{x\to3}g(x), d'où k=6k=6. Toute autre valeur créerait une discontinuité amovible.

Exercice 10 — Raccordement de continuité — cas 4

Pour x≠4x\ne4, soit g(x)=x2−16x−4g(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4} et g(4)=kg(4)=k.\n\n1. Simplifier pour x≠4x\ne4.\n2. Calculer la limite en 4.\n3. Déterminer kk pour rendre gg continue.
Corrigé détaillé
1. x2−16=(x−4)(x+4)x^2-16=(x-4)(x+4), donc g(x)=x+4g(x)=x+4 lorsque x≠4x\ne4.\n\n2. La limite lorsque x→4x\to4 vaut 8\boxed{8}.\n\n3. La continuité en 4 signifie g(4)=lim⁡x→4g(x)g(4)=\lim_{x\to4}g(x), d'où k=8k=8. Toute autre valeur créerait une discontinuité amovible.

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