Terminale spécialité maths

Convexité et dérivée seconde : 10 exercices corrigés en Terminale

Entraînez-vous sur convexité et dérivée seconde avec 10 exercices progressifs et leurs corrections détaillées.

L'essentiel à retenir

  • Une fonction deux fois dérivable est convexe lorsque f′′≥0f''\ge0.
  • Un changement de signe de f′′f'' peut signaler un point d'inflexion.
  • Pour une fonction convexe, la courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

Exercice 1 — Parabole convexe

Montrer que f(x)=3x2−2x+4f(x)=3x^2-2x+4 est convexe et donner sa tangente en 00.
Corrigé détaillé
f′′(x)=6>0f''(x)=6>0 : ff est strictement convexe. f(0)=4f(0)=4 et f′(0)=−2f'(0)=-2, donc la tangente est y=4−2xy=4-2x. La convexité donne f(x)≥4−2xf(x)\ge4-2x, ce que confirme f(x)−(4−2x)=3x2≥0f(x)-(4-2x)=3x^2\ge0.

Exercice 2 — Point d'inflexion

Étudier la convexité de f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x et déterminer son point d'inflexion.
Corrigé détaillé
f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3 puis f′′(x)=6xf''(x)=6x. La fonction est concave sur ]−∞,0]]-\infty,0], convexe sur [0,+∞[[0,+\infty[. Le signe de f′′f'' change en 00, donc (0,f(0))=(0,0)(0,f(0))=(0,0) est un point d'inflexion.

Exercice 3 — Convexité de l'exponentielle

Prouver que ex≥1+xe^x\ge1+x pour tout réel xx à partir de la convexité.
Corrigé détaillé
Pour f(x)=exf(x)=e^x, f′′(x)=ex>0f''(x)=e^x>0 : elle est convexe. La tangente en 00 a pour équation y=f(0)+f′(0)x=1+xy=f(0)+f'(0)x=1+x. La courbe convexe est au-dessus de cette tangente, donc ex≥1+xe^x\ge1+x, avec égalité en 00.

Exercice 4 — Concavité du logarithme

Sur ]0,+∞[]0,+\infty[, étudier la concavité de ln⁡x\ln x puis établir ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1.
Corrigé détaillé
f′(x)=1/xf'(x)=1/x et f′′(x)=−1/x2<0f''(x)=-1/x^2<0 : le logarithme est strictement concave. La tangente au point 11 vaut y=x−1y=x-1. Une fonction concave est située sous ses tangentes, donc ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1 pour x>0x>0.

Exercice 5 — Convexité d'une puissance

Étudier la convexité de f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2 et localiser ses inflexions.
Corrigé détaillé
f′′(x)=12x2−4=4(3x2−1)f''(x)=12x^2-4=4(3x^2-1). Elle est positive lorsque ∣x∣>1/3|x|>1/\sqrt3, négative lorsque ∣x∣<1/3|x|<1/\sqrt3. La courbe est convexe à l'extérieur, concave au centre, et admet deux points d'inflexion d'abscisses ±1/3\pm1/\sqrt3.

Exercice 6 — Fonction inverse

Déterminer la convexité de f(x)=1/xf(x)=1/x sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et sur ]−∞,0[]-\infty,0[.
Corrigé détaillé
f′(x)=−1/x2f'(x)=-1/x^2 puis f′′(x)=2/x3f''(x)=2/x^3. Si x>0x>0, f′′>0f''>0 : convexité. Si x<0x<0, f′′<0f''<0 : concavité. Les intervalles doivent être étudiés séparément, puisque 00 n'appartient pas au domaine.

Exercice 7 — Tangente et inégalité

Utiliser la convexité de f(x)=x2f(x)=x^2 pour établir (a+b)2≤2(a2+b2)(a+b)^2\le2(a^2+b^2) pour tous réels a,ba,b.
Corrigé détaillé
Par convexité, f((a+b)/2)≤(f(a)+f(b))/2f((a+b)/2)\le(f(a)+f(b))/2. D'où (a+b)2/4≤(a2+b2)/2(a+b)^2/4\le(a^2+b^2)/2. Après multiplication par 44, (a+b)2≤2(a2+b2)(a+b)^2\le2(a^2+b^2). L'égalité a lieu lorsque a=ba=b.

Exercice 8 — Point d'inflexion d'un cube décalé

Étudier la convexité de g(x)=(x−2)3+1g(x)=(x-2)^3+1 et trouver l'inflexion.
Corrigé détaillé
g′′(x)=6(x−2)g''(x)=6(x-2). Elle est négative si x<2x<2 et positive si x>2x>2 : passage de la concavité à la convexité. Le point d'inflexion est (2,g(2))=(2,1)(2,g(2))=(2,1).

Exercice 9 — Étude convexe d'une composition

Pour f(x)=e2xf(x)=e^{2x}, calculer les deux premières dérivées puis l'équation de la tangente en 00.
Corrigé détaillé
f′(x)=2e2xf'(x)=2e^{2x} et f′′(x)=4e2x>0f''(x)=4e^{2x}>0 : convexité stricte. Au point 00, f(0)=1f(0)=1, f′(0)=2f'(0)=2. La tangente a pour équation y=1+2xy=1+2x. On en déduit aussi e2x≥1+2xe^{2x}\ge1+2x.

Exercice 10 — Inégalité et convexité

Étudier f(x)=x−ln⁡(1+x)f(x)=x-\ln(1+x) sur ]−1,+∞[]-1,+\infty[ pour montrer ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x)\le x.
Corrigé détaillé
f′(x)=1−1/(1+x)=x/(1+x)f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x) ; elle est négative sur ]−1,0[]-1,0[ et positive sur ]0,+∞[]0,+\infty[. Donc ff admet un minimum en 00 : f(0)=0f(0)=0. Ainsi x−ln⁡(1+x)≥0x-\ln(1+x)\ge0, d'où ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x)\le x. De plus f′′(x)=1/(1+x)2>0f''(x)=1/(1+x)^2>0.

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