Première STMG

Variables aléatoires, espérance et variance — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices de mathématiques du programme de Première STMG : mises en situation de gestion, questions séparées et solutions étape par étape.

L'essentiel à retenir

  • E(X)=∑xiP(X=xi)E(X)=\sum x_iP(X=x_i) est le gain théorique moyen.
  • V(X)=E(X2)−E(X)2V(X)=E(X^2)-E(X)^2 mesure la dispersion.
  • Pour une variable à deux issues, V(X)=p(1−p)(x1−x2)2V(X)=p(1-p)(x_1-x_2)^2.

Exercice 1 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 1

1. Une opération rapporte 10 € avec probabilité 0,20{,}2 et fait perdre 2 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 1010 avec probabilité 0,20{,}2 et la valeur −2-2 avec probabilité 0,80{,}8. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=10×0,2+(−2)×0,8=0,4 eurosE(X)=10\times0{,}2+(-2)\times0{,}8=\boxed{0{,}4\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,2×0,8×(10+2)2=23,04V(X)=0{,}2\times0{,}8\times(10+2)^2=\boxed{23{,}04}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

Exercice 2 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 2

1. Une opération rapporte 12 € avec probabilité 0,250{,}25 et fait perdre 3 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 1212 avec probabilité 0,250{,}25 et la valeur −3-3 avec probabilité 0,750{,}75. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=12×0,25+(−3)×0,75=0,75 eurosE(X)=12\times0{,}25+(-3)\times0{,}75=\boxed{0{,}75\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,25×0,75×(12+3)2=42,1875V(X)=0{,}25\times0{,}75\times(12+3)^2=\boxed{42{,}1875}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

Exercice 3 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 3

1. Une opération rapporte 14 € avec probabilité 0,40{,}4 et fait perdre 4 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 1414 avec probabilité 0,40{,}4 et la valeur −4-4 avec probabilité 0,60{,}6. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=14×0,4+(−4)×0,6=3,2 eurosE(X)=14\times0{,}4+(-4)\times0{,}6=\boxed{3{,}2\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,4×0,6×(14+4)2=77,76V(X)=0{,}4\times0{,}6\times(14+4)^2=\boxed{77{,}76}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

Exercice 4 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 4

1. Une opération rapporte 16 € avec probabilité 0,50{,}5 et fait perdre 5 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 1616 avec probabilité 0,50{,}5 et la valeur −5-5 avec probabilité 0,50{,}5. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=16×0,5+(−5)×0,5=5,5 eurosE(X)=16\times0{,}5+(-5)\times0{,}5=\boxed{5{,}5\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,5×0,5×(16+5)2=110,25V(X)=0{,}5\times0{,}5\times(16+5)^2=\boxed{110{,}25}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

Exercice 5 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 5

1. Une opération rapporte 18 € avec probabilité 0,20{,}2 et fait perdre 2 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 1818 avec probabilité 0,20{,}2 et la valeur −2-2 avec probabilité 0,80{,}8. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=18×0,2+(−2)×0,8=2 eurosE(X)=18\times0{,}2+(-2)\times0{,}8=\boxed{2\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,2×0,8×(18+2)2=64V(X)=0{,}2\times0{,}8\times(18+2)^2=\boxed{64}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

Exercice 6 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 6

1. Une opération rapporte 20 € avec probabilité 0,250{,}25 et fait perdre 3 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 2020 avec probabilité 0,250{,}25 et la valeur −3-3 avec probabilité 0,750{,}75. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=20×0,25+(−3)×0,75=2,75 eurosE(X)=20\times0{,}25+(-3)\times0{,}75=\boxed{2{,}75\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,25×0,75×(20+3)2=99,1875V(X)=0{,}25\times0{,}75\times(20+3)^2=\boxed{99{,}1875}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

Exercice 7 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 7

1. Une opération rapporte 22 € avec probabilité 0,40{,}4 et fait perdre 4 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 2222 avec probabilité 0,40{,}4 et la valeur −4-4 avec probabilité 0,60{,}6. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=22×0,4+(−4)×0,6=6,4 eurosE(X)=22\times0{,}4+(-4)\times0{,}6=\boxed{6{,}4\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,4×0,6×(22+4)2=162,24V(X)=0{,}4\times0{,}6\times(22+4)^2=\boxed{162{,}24}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

Exercice 8 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 8

1. Une opération rapporte 24 € avec probabilité 0,50{,}5 et fait perdre 5 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 2424 avec probabilité 0,50{,}5 et la valeur −5-5 avec probabilité 0,50{,}5. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=24×0,5+(−5)×0,5=9,5 eurosE(X)=24\times0{,}5+(-5)\times0{,}5=\boxed{9{,}5\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,5×0,5×(24+5)2=210,25V(X)=0{,}5\times0{,}5\times(24+5)^2=\boxed{210{,}25}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

Exercice 9 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 9

1. Une opération rapporte 26 € avec probabilité 0,20{,}2 et fait perdre 2 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 2626 avec probabilité 0,20{,}2 et la valeur −2-2 avec probabilité 0,80{,}8. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=26×0,2+(−2)×0,8=3,6 eurosE(X)=26\times0{,}2+(-2)\times0{,}8=\boxed{3{,}6\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,2×0,8×(26+2)2=125,44V(X)=0{,}2\times0{,}8\times(26+2)^2=\boxed{125{,}44}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

Exercice 10 — Variable aléatoire : bénéfice d'une opération — 10

1. Une opération rapporte 28 € avec probabilité 0,250{,}25 et fait perdre 3 € sinon. Définir la loi du gain XX. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X). 3. Calculer V(X)V(X) et expliquer ce qu'indiquent espérance et variance.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Choisir la méthode. XX prend la valeur 2828 avec probabilité 0,250{,}25 et la valeur −3-3 avec probabilité 0,750{,}75. Les probabilités somment à 1. Étape 2 — Faire le calcul. E(X)=28×0,25+(−3)×0,75=4,75 eurosE(X)=28\times0{,}25+(-3)\times0{,}75=\boxed{4{,}75\,\text{euros}}. C'est le gain moyen théorique par opération répétée. Étape 3 — Conclure. La variance d'une loi à deux issues vaut p(1−p)(x1−x2)2p(1-p)(x_1-x_2)^2 : V(X)=0,25×0,75×(28+3)2=180,1875V(X)=0{,}25\times0{,}75\times(28+3)^2=\boxed{180{,}1875}. Elle mesure la dispersion autour de l'espérance.

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