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Variables aléatoires et répétitions de Bernoulli — 10 exercices corrigés Première spé

Travaillez variables aléatoires et répétitions de bernoulli à travers dix exercices de difficulté progressive, avec corrigés.

L'essentiel à retenir

  • E(X)=∑ixiP(X=xi)E(X)=\sum_i x_iP(X=x_i) pour une variable discrète de loi finie.
  • V(X)=E(X2)−E(X)2V(X)=E(X^2)-E(X)^2 ; σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
  • Une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes permet de calculer des probabilités de succès successifs.

Exercice 1 — Espérance d'un gain

Un jeu rapporte 5 € avec probabilité 0,40{,}4 et fait perdre 2 € sinon. Déterminer l'espérance du gain.
Corrigé détaillé
1. La variable prend les valeurs 5 et −2-2 de probabilités 0,4 et 0,6. 2. E(X)=5⋅0,4+(−2)⋅0,6=2−1,2E(X)=5\cdot0{,}4+(-2)\cdot0{,}6=2-1{,}2. 3. Le gain espéré vaut 0,8 €\boxed{0{,}8\text{ €}} par partie.

Exercice 2 — Loi de Bernoulli

Une épreuve réussit avec probabilité p=0,3p=0{,}3. X=1X=1 en cas de succès et 00 sinon. Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).
Corrigé détaillé
1. P(X=1)=0,3P(X=1)=0{,}3 et P(X=0)=0,7P(X=0)=0{,}7. 2. E(X)=0,3E(X)=0{,}3 et E(X2)=0,3E(X^2)=0{,}3 car X2=XX^2=X. 3. V(X)=0,3−0,32=0,21V(X)=0{,}3-0{,}3^2=\boxed{0{,}21}.

Exercice 3 — Variable uniforme

Une variable XX prend uniformément les valeurs 1,2,3,4. Calculer son espérance et sa variance.
Corrigé détaillé
1. Chaque valeur a probabilité 1/41/4. 2. E(X)=(1+2+3+4)/4=5/2E(X)=(1+2+3+4)/4=5/2. 3. E(X2)=(1+4+9+16)/4=30/4=7,5E(X^2)=(1+4+9+16)/4=30/4=7{,}5, donc V(X)=7,5−(2,5)2=1,25V(X)=7{,}5-(2{,}5)^2=\boxed{1{,}25}.

Exercice 4 — Linéarité de l'espérance

Si E(X)=4E(X)=4, calculer E(3X−5)E(3X-5) et interpréter la transformation du gain.
Corrigé détaillé
1. L'espérance est linéaire : E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b. 2. Ici E(3X−5)=3×4−5=7E(3X-5)=3\times4-5=\boxed7. 3. Multiplier tous les gains par 3 puis retirer 5 déplace leur valeur moyenne selon la même opération.

Exercice 5 — Variance d'une transformation

Si V(X)=2V(X)=2, déterminer V(4X+3)V(4X+3) et l'écart-type correspondant.
Corrigé détaillé
1. La translation +3+3 ne change pas la variance. 2. Le facteur 4 multiplie la variance par 42=164^2=16, donc V(4X+3)=16×2=32V(4X+3)=16\times2=\boxed{32}. 3. L'écart-type est 32=42\boxed{\sqrt{32}=4\sqrt2}.

Exercice 6 — Deux lancers indépendants

On lance deux fois une pièce équilibrée. Calculer les probabilités d'obtenir zéro, un et deux piles.
Corrigé détaillé
1. Les quatre issues équiprobables sont FF, FP, PF, PP. 2. Zéro pile : FF, soit 1/41/4 ; deux piles : PP, soit 1/41/4. 3. Un pile : FP ou PF, soit 2/4=1/22/4=1/2. Les probabilités 1/4+1/2+1/41/4+1/2+1/4 somment à 1.

Exercice 7 — Trois expériences indépendantes

Une épreuve de Bernoulli a probabilité de succès 0,6. Sur trois répétitions indépendantes, calculer la probabilité de trois succès.
Corrigé détaillé
1. Sur chaque répétition, P(S)=0,6P(S)=0{,}6. 2. Les répétitions étant indépendantes, P(SSS)=0,63P(SSS)=0{,}6^3. 3. Le résultat exact est 0,216\boxed{0{,}216}, soit 21,6 %.

Exercice 8 — Exactement un succès

Une épreuve indépendante réussit avec probabilité 0,2 ; on la répète trois fois. Calculer la probabilité d'exactement un succès.
Corrigé détaillé
1. Un chemin avec un succès et deux échecs a probabilité 0,2(0,8)2=0,1280{,}2(0{,}8)^2=0{,}128. 2. Le succès peut être au premier, deuxième ou troisième essai : trois chemins disjoints. 3. Le total vaut 3×0,128=0,3843\times0{,}128=\boxed{0{,}384}.

Exercice 9 — Au moins un succès

On répète indépendamment 5 épreuves dont la probabilité de succès est 0,10{,}1. Calculer la probabilité d'au moins un succès.
Corrigé détaillé
1. Le complément est « aucun succès ». 2. Sa probabilité vaut (1−0,1)5=0,95=0,59049(1-0{,}1)^5=0{,}9^5=0{,}59049. 3. Donc P(au moins un succeˋs)=1−0,59049=0,40951P(\text{au moins un succès})=1-0{,}59049=\boxed{0{,}40951}.

Exercice 10 — Loi du nombre de succès

On lance trois fois une pièce équilibrée. XX est le nombre de piles. Déterminer P(X=2)P(X=2) et E(X)E(X).
Corrigé détaillé
1. Il existe 23=82^3=8 issues équiprobables. 2. Les issues avec exactement deux piles sont PPF, PFP, FPP : P(X=2)=3/8P(X=2)=3/8. 3. XX est la somme de trois indicatrices de pile, chacune d'espérance 1/21/2, donc E(X)=3/2E(X)=3/2.

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