Terminale spécialité maths

Fonctions trigonométriques : 10 exercices corrigés Terminale

Révisez fonctions trigonométriques : dix exercices de difficulté progressive, accompagnés de corrections.

L'essentiel à retenir

  • sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 et sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x)=2\sin x\cos x.
  • (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x et (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x.
  • Les solutions des équations trigonométriques se décrivent modulo 2π2\pi.

Exercice 1 — Équation sinus

Résoudre sin⁡x=1/2\sin x=1/2 sur [0,2π[[0,2\pi[.
Corrigé détaillé
Sur le cercle trigonométrique, le sinus vaut 1/21/2 en π/6\pi/6 et en 5π/65\pi/6. Ces deux angles appartiennent à [0,2π[[0,2\pi[. Les solutions sont π/6,5π/6\boxed{\pi/6,5\pi/6}.

Exercice 2 — Équation cosinus

Résoudre cos⁡x=−2/2\cos x=-\sqrt2/2 sur [0,2π[[0,2\pi[.
Corrigé détaillé
Le cosinus vaut −2/2-\sqrt2/2 dans les quadrants II et III, aux angles de référence π/4\pi/4. Les solutions sont 3π/4,5π/4\boxed{3\pi/4,5\pi/4}.

Exercice 3 — Dérivée trigonométrique

Calculer la dérivée de f(x)=3sin⁡x−2cos⁡xf(x)=3\sin x-2\cos x puis f′(0)f'(0).
Corrigé détaillé
Par linéarité, f′(x)=3cos⁡x+2sin⁡xf'(x)=3\cos x+2\sin x. Au point 00, cos⁡0=1\cos0=1 et sin⁡0=0\sin0=0 ; on trouve f′(0)=3\boxed{f'(0)=3}.

Exercice 4 — Composition sinus

Dériver g(x)=sin⁡(2x+1)g(x)=\sin(2x+1) et déterminer g′(0)g'(0).
Corrigé détaillé
La dérivée de sin⁡u\sin u vaut u′cos⁡uu'\cos u. Ici u=2x+1u=2x+1, donc u′=2u'=2 et g′(x)=2cos⁡(2x+1)g'(x)=2\cos(2x+1). On en déduit g′(0)=2cos⁡1g'(0)=2\cos1.

Exercice 5 — Formule de l'angle double

Déduire cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x)=1-2\sin^2x de l'identité cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1.
Corrigé détaillé
La formule initiale cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x et l'égalité cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x donnent cos⁡(2x)=1−sin⁡2x−sin⁡2x\cos(2x)=1-\sin^2x-\sin^2x. Ainsi cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\boxed{\cos(2x)=1-2\sin^2x}.

Exercice 6 — Étude des variations du sinus

Déterminer les variations de f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x sur [0,2π][0,2\pi] et ses extrema.
Corrigé détaillé
f′(x)=cos⁡xf'(x)=\cos x est positive sur [0,π/2][0,\pi/2] et [3π/2,2π][3\pi/2,2\pi], négative entre π/2\pi/2 et 3π/23\pi/2. Ainsi le maximum vaut 11 en π/2\pi/2 et le minimum −1-1 en 3π/23\pi/2.

Exercice 7 — Équation tangente

Résoudre tan⁡x=1\tan x=1 sur ]−π/2,π/2[]-\pi/2,\pi/2[.
Corrigé détaillé
La tangente est strictement croissante sur cet intervalle et tan⁡(π/4)=1\tan(\pi/4)=1. L'équation a donc pour unique solution x=π/4\boxed{x=\pi/4} dans l'intervalle donné.

Exercice 8 — Périodicité

Déterminer la période fondamentale de f(x)=sin⁡(3x)f(x)=\sin(3x) et ses zéros sur [0,2π][0,2\pi].
Corrigé détaillé
Le sinus a pour période 2π2\pi : sin⁡(3(x+T))=sin⁡(3x)\sin(3(x+T))=\sin(3x) si 3T=2π3T=2\pi. La période fondamentale est T=2π/3T=2\pi/3. Les zéros satisfont 3x=kπ3x=k\pi, donc x=kπ/3x=k\pi/3, avec k=0,1,…,6k=0,1,\dots,6 sur l'intervalle.

Exercice 9 — Résolution d'une équation produit

Résoudre 2sin⁡xcos⁡x=02\sin x\cos x=0 sur [0,2π[[0,2\pi[.
Corrigé détaillé
Un produit est nul si sin⁡x=0\sin x=0 ou cos⁡x=0\cos x=0. La première donne 0,π0,\pi ; la seconde donne π/2,3π/2\pi/2,3\pi/2. Les quatre solutions sont 0,π/2,π,3π/2\boxed{0,\pi/2,\pi,3\pi/2}.

Exercice 10 — Tangente à la courbe cosinus

Déterminer la tangente à f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x au point d'abscisse π/2\pi/2.
Corrigé détaillé
f(π/2)=0f(\pi/2)=0 et f′(x)=−sin⁡xf'(x)=-\sin x, donc f′(π/2)=−1f'(\pi/2)=-1. L'équation réduite est y=−(x−π/2)\boxed{y=-(x-\pi/2)}. Elle passe par (π/2,0)(\pi/2,0) avec pente −1-1.

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