Première spécialité maths

Trigonométrie : cercle, sinus et cosinus — 10 exercices corrigés de Première spé

Dix exercices progressifs sur trigonométrie : cercle, sinus et cosinus et leurs corrigés expliqués.

L'essentiel à retenir

  • Un tour complet du cercle correspond à 2π2\pi radians.
  • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 et sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x.
  • Les sinus et cosinus sont périodiques de période 2π2\pi.

Exercice 1 — Convertir degrés et radians

Convertir 120∘120^\circ en radians puis 5π/65\pi/6 radians en degrés.
Corrigé détaillé
1. Un angle de 180∘180^\circ correspond à π\pi radians. 2. 120∘=120π/180=2π/3120^\circ=120\pi/180=\boxed{2\pi/3}. 3. 5π/65\pi/6 radians correspondent à (5π/6)(180/π)=150∘(5\pi/6)(180/\pi)=\boxed{150^\circ}.

Exercice 2 — Déterminer sinus et cosinus

Calculer exactement cos⁡(π/3)\cos(\pi/3), sin⁡(π/3)\sin(\pi/3), cos⁡(5π/3)\cos(5\pi/3) et sin⁡(5π/3)\sin(5\pi/3).
Corrigé détaillé
1. À π/3\pi/3, les valeurs usuelles sont cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3)=1/2 et sin⁡(π/3)=3/2\sin(\pi/3)=\sqrt3/2. 2. 5π/3=2π−π/35\pi/3=2\pi-\pi/3. 3. Par symétrie du cercle, cos⁡(5π/3)=1/2\cos(5\pi/3)=1/2 et sin⁡(5π/3)=−3/2\sin(5\pi/3)=-\sqrt3/2.

Exercice 3 — Résoudre une équation sinus

Résoudre sin⁡x=1/2\sin x=1/2 sur [0,2π[[0,2\pi[.
Corrigé détaillé
1. Le sinus vaut 1/21/2 à l'angle de référence π/6\pi/6. 2. Le sinus est positif dans les quadrants I et II. 3. Les solutions sont x=π/6 ou x=5π/6\boxed{x=\pi/6\text{ ou }x=5\pi/6}.

Exercice 4 — Résoudre une équation cosinus

Résoudre cos⁡x=−2/2\cos x=-\sqrt2/2 sur [0,2π[[0,2\pi[.
Corrigé détaillé
1. La valeur absolue 2/2\sqrt2/2 correspond à l'angle de référence π/4\pi/4. 2. Le cosinus est négatif dans les quadrants II et III. 3. On obtient x=3π/4 ou x=5π/4\boxed{x=3\pi/4\text{ ou }x=5\pi/4}.

Exercice 5 — Angles associés

Simplifier sin⁡(π−x)\sin(\pi-x) et cos⁡(π+x)\cos(\pi+x), puis évaluer pour x=π/6x=\pi/6.
Corrigé détaillé
1. Sur le cercle, la symétrie donne sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x. 2. Un demi-tour change les deux coordonnées de signe, donc cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi+x)=-\cos x. 3. Pour x=π/6x=\pi/6, les valeurs sont respectivement 1/2\boxed{1/2} et −3/2\boxed{-\sqrt3/2}.

Exercice 6 — Identité fondamentale

Sachant que sin⁡x=3/5\sin x=3/5 et que x∈[0,π/2]x\in[0,\pi/2], déterminer cos⁡x\cos x.
Corrigé détaillé
1. cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 implique cos⁡2x=1−9/25=16/25\cos^2x=1-9/25=16/25. 2. Donc cos⁡x=±4/5\cos x=\pm4/5. 3. Dans le premier quadrant, le cosinus est positif : cos⁡x=4/5\boxed{\cos x=4/5}.

Exercice 7 — Périodicité

Déterminer les valeurs exactes de sin⁡(13π/6)\sin(13\pi/6) et de cos⁡(−11π/3)\cos(-11\pi/3).
Corrigé détaillé
1. 13π/6=2π+π/613\pi/6=2\pi+\pi/6 : par périodicité, sin⁡(13π/6)=sin⁡(π/6)=1/2\sin(13\pi/6)=\sin(\pi/6)=1/2. 2. Le cosinus est pair : cos⁡(−11π/3)=cos⁡(11π/3)\cos(-11\pi/3)=\cos(11\pi/3). 3. 11π/3=4π−π/311\pi/3=4\pi-\pi/3, donc cos⁡(11π/3)=1/2\cos(11\pi/3)=\boxed{1/2}.

Exercice 8 — Angles et coordonnées

Sur le cercle unité, déterminer les coordonnées du point associé à x=4π/3x=4\pi/3 et préciser son quadrant.
Corrigé détaillé
1. 4π/3=π+π/34\pi/3=\pi+\pi/3 est dans le troisième quadrant. 2. Les deux coordonnées sont négatives. 3. Le point est (−1/2,−3/2)\boxed{(-1/2,-\sqrt3/2)}, coordonnées (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x,\sin x).

Exercice 9 — Équation à deux branches

Résoudre 2cos⁡2x−1=02\cos^2x-1=0 sur [0,2π[[0,2\pi[.
Corrigé détaillé
1. cos⁡2x=1/2\cos^2x=1/2 donc cos⁡x=±2/2\cos x=\pm\sqrt2/2. 2. Le cosinus vaut ces valeurs aux quatre angles de référence π/4\pi/4. 3. L'ensemble solution est {π/4,3π/4,5π/4,7π/4}\boxed{\{\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4\}}.

Exercice 10 — Évolution périodique

Une hauteur d'eau (en mètres) suit h(t)=2+0,5cos⁡(πt/6)h(t)=2+0{,}5\cos(\pi t/6), avec tt en heures. Donner la période, le maximum et le minimum.
Corrigé détaillé
1. Une période TT doit vérifier (π/6)T=2π(\pi/6)T=2\pi, donc T=12T=12 h. 2. Puisque −1≤cos⁡≤1-1\le\cos\le1, la hauteur est entre 2−0,52-0{,}5 et 2+0,52+0{,}5. 3. Le minimum vaut 1,5 m et le maximum 2,5 m.

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