Université L1 / enseignement supérieur

Théorie des ensembles : exercices corrigés L1

Les opérations sur les ensembles sont au cœur des démonstrations, des probabilités et des espaces de fonctions. Les exemples utilisent des ensembles finis pour visualiser les définitions, puis un raisonnement général sur la complémentation.

L'essentiel à retenir

$x\in A$ signifie « $x$ appartient à $A$ » ; $A\subseteq B$ signifie « tout élément de $A$ appartient à $B$ ».
$A\cup B=\{x:x\in A\text{ ou }x\in B\}$ et $A\cap B=\{x:x\in A\text{ et }x\in B\}$ .
Le complémentaire dans un univers $U$ est $A^c=U\setminus A$ ; préciser $U$ évite les ambiguïtés.
Produit cartésien : $A\times B=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\}$ . Si $A,B$ sont finis, $|A\times B|=|A||B|$ .
Lois de De Morgan : $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ et $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ .

Exercice 1 — Union, intersection, complémentaire

Dans

U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

, on pose

A=\{2,4,6,8,10\}

B=\{3,6,9\}

Calculer $A\cap B$ .
Calculer $A\cup B$ .
Calculer $U\setminus(A\cup B)$ .

Corrigé détaillé

1. Le seul entier commun aux deux ensembles est

6

: $\boxed{A\cap B=\{6\}}$ . 2. On rassemble les éléments sans répétition : $\boxed{A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10\}}$ . 3. Les éléments de

U

absents de l’union sont

1,5,7

: $\boxed{U\setminus(A\cup B)=\{1,5,7\}}$ .

Exercice 2 — Produit cartésien

Soient

A=\{a,b\}

B=\{1,2,3\}

Énumérer $A\times B$ .
Donner son cardinal.
Comparer $A\times B$ et $B\times A$ .

Corrigé détaillé

A\times B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}

. 2. Il y a deux choix pour la première coordonnée et trois pour la seconde, donc $\boxed{|A\times B|=2\times3=6}$ . 3.

B\times A

contient les couples

(1,a),(1,b),\ldots,(3,b)

. L’ordre est inversé : en général $A\times B\ne B\times A$ (ils ont néanmoins le même cardinal pour des ensembles finis).

Exercice 3 — Démontrer une loi de De Morgan

Soient

A

B

deux parties d’un univers

U

Montrer que $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ .
Vérifier l’identité sur $U=\{1,2,3,4\}$ , $A=\{1,2\}$ , $B=\{2,3\}$ .

Corrigé détaillé

1. Preuve par appartenance. Pour tout

x\in U

x\in(A\cap B)^c\iff x\notin A\cap B\iff (x\notin A)\ \text{ou}\ (x\notin B)\iff x\in A^c\cup B^c.

Les deux ensembles ont donc exactement les mêmes éléments. 2. Exemple.

A\cap B=\{2\}

, donc

(A\cap B)^c=\{1,3,4\}

. D’autre part

A^c=\{3,4\}

B^c=\{1,4\}

: leur union vaut

\{1,3,4\}

. Identité vérifiée.

Exercice 4 — Opérations sur ensembles finis

Pour

A=\{1,2,4\}

B=\{2,3,4\}

dans

U=\{1,2,3,4,5\}

, calculer

A\cap B

A\cup B

et les deux complémentaires.

Corrigé détaillé

1. L'intersection regroupe les éléments communs : $A\cap B=\{2,4\}$ . 2. L'union contient les éléments appartenant à au moins un ensemble : $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ . 3. Par rapport à

U

, $A^c=\{3,5\}$ et $B^c=\{1,5\}$ .

Exercice 5 — Différence et différence symétrique

Pour

A=\{1,2,3,5\}

B=\{3,4,5,6\}

, calculer

A\setminus B

B\setminus A

et leur différence symétrique.

Corrigé détaillé

1. Retirer de

A

les éléments de

B

donne $A\setminus B=\{1,2\}$ . 2. Inversement, $B\setminus A=\{4,6\}$ . 3. La différence symétrique est l'union disjointe de ces parties : $A\triangle B=\{1,2,4,6\}$ . Les éléments

3

5

, communs aux deux ensembles, sont exclus.

Exercice 6 — Produit cartésien et cardinal

A=\{a,b,c\}

B=\{0,1\}

, donner la liste de

A\times B

, son cardinal et expliquer pourquoi

(a,1)

diffère de

(1,a)

Corrigé détaillé

A\times B=\{(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1)\}

. 2. Le produit des cardinaux donne $|A\times B|=3\times2=6$ . 3. Les couples sont ordonnés :

(a,1)

(1,a)

n'ont pas les mêmes coordonnées placées dans le même ordre ; le second appartient à

B\times A

et non à

A\times B

Exercice 7 — Inclusion et ensemble des parties

Soit

A=\{1,2,3\}

. Donner

\mathcal P(A)

, montrer que

\{1,2\}\subseteq A

et calculer

|\mathcal P(A)|

Corrigé détaillé

1. L'ensemble des parties vaut

\mathcal P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},A\}

. 2. Les éléments

1

2

appartiennent à

A

, donc

\{1,2\}\subseteq A

. 3. Chaque élément est présent ou absent : il y a $2^3=8$ sous-ensembles.

Exercice 8 — Formule des cardinaux

Une classe compte

30

élèves :

18

aiment l'algèbre,

15

l'analyse et

8

aiment les deux. Combien aiment au moins l'une des deux matières ? Combien aucune ?

Corrigé détaillé

1. Poser

A

B

pour les deux préférences. 2. La formule d'inclusion-exclusion donne

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=18+15-8=\boxed{25}

. 3. Les élèves n'aimant aucune matière appartiennent au complémentaire :

30-25=\boxed5

. La soustraction de l'intersection évite le double comptage.

Exercice 9 — De Morgan par appartenance

Prouver

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c

par équivalences logiques sur un élément arbitraire

x

de l'univers.

Corrigé détaillé

1. Soit

x\in U

. On a

x\in(A\cup B)^c\iff x\notin A\cup B

. 2. N'appartenir à aucune des deux parties signifie

x\notin A

x\notin B

. 3. Cela équivaut à

x\in A^c\cap B^c

. Les deux parties ayant les mêmes éléments, $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ .

Exercice 10 — Distributivité

Prouver

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)

pour des parties arbitraires d'un ensemble

U

Corrigé détaillé

1. Pour tout

x

x\in A\cap(B\cup C)

signifie

x\in A

(x\in B

x\in C)

. 2. Par distributivité de « et » sur « ou », c'est équivalent à

(x\in A

x\in B)

(x\in A

x\in C)

. 3. C'est exactement

x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)

. D'où l'égalité des deux ensembles.

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