Université L1 / enseignement supérieur

Développements limités (DL) : exercices corrigés L1

Les développements limités permettent de remplacer une fonction par un polynôme près d’un point. Ils facilitent le calcul de formes indéterminées et l’étude locale des graphes. On indiquera toujours l’ordre du DL et son reste.

L'essentiel à retenir

  • Formule de Taylor-Young : si ff est suffisamment dérivable en 00, f(x)=∑k=0nf(k)(0)k!xk+o(xn)f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n).
  • ex=1+x+x22+x36+o(x3)e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3) et cos⁡x=1−x22+o(x3)\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^3).
  • sin⁡x=x−x36+x5120+o(x5)\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+o(x^5).
  • Pour multiplier deux DL, on ne garde que les puissances jusqu’à l’ordre demandé ; pour un quotient, il faut d’abord isoler le premier terme non nul.
  • Si f(x)−f(0)=ax2k+o(x2k)f(x)-f(0)=a x^{2k}+o(x^{2k}) avec a>0a>0, alors 00 est un minimum local strict (dans un voisinage adapté).

Exercice 1 — Produit de deux DL

Calculer le développement limité à l’ordre 33 en 00 de f(x)=excos⁡xf(x)=e^x\cos x. En déduire f′(0)f\prime(0) et le premier terme non nul après le terme linéaire.
Corrigé détaillé
1. DL usuels. ex=1+x+x22+x36+o(x3)e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3) et cos⁡x=1−x22+o(x3)\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3). 2. Produit. Jusqu’à l’ordre 33 : excos⁡x=1+x+(12−12)x2+(16−12)x3+o(x3).e^x\cos x=1+x+\left(\frac12-\frac12\right)x^2+\left(\frac16-\frac12\right)x^3+o(x^3). Donc excos⁡x=1+x−x33+o(x3)\boxed{e^x\cos x=1+x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)}. 3. Interprétation. Le coefficient de xx est f′(0)=1f\prime(0)=1 ; le premier terme après xx est −x3/3-x^3/3.

Exercice 2 — Lever une forme indéterminée

Calculer L=lim⁡x→0sin⁡x−x+x36x5.L=\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x+\frac{x^3}{6}}{x^5}.
Corrigé détaillé
1. DL adapté. sin⁡x=x−x36+x5120+o(x5)\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5). 2. Simplification du numérateur. sin⁡x−x+x36=x5120+o(x5)\sin x-x+\frac{x^3}{6}=\frac{x^5}{120}+o(x^5). 3. Quotient. Pour x≠0x\ne0, sin⁡x−x+x3/6x5=1120+o(1)\frac{\sin x-x+x^3/6}{x^5}=\frac1{120}+o(1). Ainsi L=1120\boxed{L=\frac1{120}}.

Exercice 3 — Étude locale et extremum

Pour f(x)=ex−1−xf(x)=e^x-1-x :
  1. Donner le DL de ff à l’ordre 33 en 00.
  2. Déterminer la tangente en 00.
  3. Montrer que 00 est un minimum local strict de ff.
Corrigé détaillé
1. f(x)=x22+x36+o(x3)f(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3). 2. f(0)=0f(0)=0 et f′(0)=0f\prime(0)=0 : la tangente est y=0\boxed{y=0}. 3. f(x)=x2(12+x6+o(x))f(x)=x^2\left(\frac12+\frac{x}{6}+o(x)\right). Le facteur entre parenthèses est strictement positif pour xx assez proche de 00. Donc f(x)>0=f(0)f(x)>0=f(0) pour x≠0x\ne0 assez petit : 00 est un minimum local strict (même global par ex≥1+xe^x\ge1+x).

Exercice 4 — Taylor de l'exponentielle

  1. Donner le DL d'ordre 4 de exe^x en 0. 2. En déduire lim⁡x→0(ex−1−x−x2/2)/x3\lim_{x\to0}(e^x-1-x-x^2/2)/x^3. 3. Calculer la limite avec x4x^4 après retrait du terme cubique.
Corrigé détaillé
1. Par Taylor-Young, ex=1+x+x2/2+x3/6+x4/24+o(x4)e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+o(x^4). 2. Après soustraction des termes de degré ≤2\le2, le premier terme restant est x3/6x^3/6, donc la première limite est 1/61/6. 3. En retranchant encore x3/6x^3/6, le numérateur vaut x4/24+o(x4)x^4/24+o(x^4) ; en divisant par x4x^4, on obtient 1/241/24.

Exercice 5 — Produit de DL

Soit g(x)=exsin⁡xg(x)=e^x\sin x. 1. Écrire les DL usuels jusqu'à l'ordre 3. 2. Développer gg à l'ordre 3. 3. Déterminer g′′(0)g''(0).
Corrigé détaillé
1. ex=1+x+x2/2+x3/6+o(x3)e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3) et sin⁡x=x−x3/6+o(x3)\sin x=x-x^3/6+o(x^3). 2. En multipliant et gardant les termes de degré au plus 3 : g(x)=x+x2+(1/2−1/6)x3+o(x3)=x+x2+x3/3+o(x3)g(x)=x+x^2+(1/2-1/6)x^3+o(x^3)=x+x^2+x^3/3+o(x^3). 3. Le coefficient de x2x^2 est g′′(0)/2!g''(0)/2!, donc g′′(0)=2g''(0)=2.

Exercice 6 — Développement de logarithme

  1. Développer ln⁡(1+x)\ln(1+x) jusqu'à l'ordre 4. 2. Calculer lim⁡x→0(ln⁡(1+x)−x+x2/2)/x3\lim_{x\to0}(\ln(1+x)-x+x^2/2)/x^3. 3. Donner le signe du numérateur au voisinage de 0 à droite.
Corrigé détaillé
1. Pour x→0x\to0, ln⁡(1+x)=x−x2/2+x3/3−x4/4+o(x4)\ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+o(x^4). 2. Le numérateur devient x3/3−x4/4+o(x4)x^3/3-x^4/4+o(x^4). Après division par x3x^3, la limite vaut 1/31/3. 3. Pour x>0x>0 suffisamment petit, x3/3x^3/3 domine les termes d'ordre supérieur ; le numérateur est strictement positif.

Exercice 7 — Quotient et racine carrée

Considérer h(x)=1+xh(x)=\sqrt{1+x} pour x>−1x>-1. 1. Donner son DL d'ordre 3. 2. Calculer lim⁡x→0(1+x−1−x/2)/x2\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-1-x/2)/x^2. 3. Trouver le coefficient cubique.
Corrigé détaillé
1. La formule binomiale donne 1+x=1+x2−x28+x316+o(x3)\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3). 2. Après retrait des termes constants et linéaires, h(x)−1−x/2=−x2/8+x3/16+o(x3)h(x)-1-x/2=-x^2/8+x^3/16+o(x^3). Ainsi la limite est −1/8-1/8. 3. Le terme suivant vaut x3/16x^3/16 ; le quotient de l'erreur restante après soustraction du terme quadratique par x3x^3 tend vers 1/161/16.

Exercice 8 — Étude d'un minimum

Soit f(x)=ex−1−x−x2/2f(x)=e^x-1-x-x^2/2. 1. Donner son DL d'ordre 4. 2. Déterminer le signe de f(x)f(x) près de 0. 3. Le point 0 est-il un extremum local ?
Corrigé détaillé
1. En retranchant les trois premiers termes du DL de l'exponentielle, f(x)=x3/6+x4/24+o(x4)f(x)=x^3/6+x^4/24+o(x^4). 2. On factorise f(x)=x3(1/6+x/24+o(x))f(x)=x^3(1/6+x/24+o(x)). Le facteur entre parenthèses est positif assez près de zéro ; le signe de f(x)f(x) est celui de xx. 3. f(0)=0f(0)=0, mais ff est négative immédiatement à gauche et positive immédiatement à droite. 0 n'est ni minimum ni maximum local.

Exercice 9 — Limite trigonométrique difficile

Calculer L=lim⁡x→0(tan⁡x−x)/x3L=\lim_{x\to0}(\tan x-x)/x^3. 1. Rappeler les DL de sin⁡x\sin x et cos⁡x\cos x. 2. En déduire le DL de tan⁡x\tan x à l'ordre 3. 3. Conclure.
Corrigé détaillé
1. sin⁡x=x−x3/6+o(x3)\sin x=x-x^3/6+o(x^3) et cos⁡x=1−x2/2+o(x3)\cos x=1-x^2/2+o(x^3). 2. Comme 1/(1−x2/2+o(x2))=1+x2/2+o(x2)1/(1-x^2/2+o(x^2))=1+x^2/2+o(x^2), tan⁡x=(x−x3/6)(1+x2/2)+o(x3)=x+x3/3+o(x3)\tan x=(x-x^3/6)(1+x^2/2)+o(x^3)=x+x^3/3+o(x^3). 3. Le numérateur vaut x3/3+o(x3)x^3/3+o(x^3), donc L=1/3L=1/3.

Exercice 10 — Développement asymptotique à l'infini

Pour n≥1n\ge1, poser un=n(1+2/n−1)u_n=n(\sqrt{1+2/n}-1). 1. Trouver sa limite. 2. Donner son développement jusqu'à l'ordre 1/n1/n. 3. Calculer lim⁡n(un−1)\lim n(u_n-1).
Corrigé détaillé
1. Avec 1+t=1+t/2−t2/8+o(t2)\sqrt{1+t}=1+t/2-t^2/8+o(t^2) et t=2/nt=2/n, on trouve 1+2/n=1+1/n−1/(2n2)+o(n−2)\sqrt{1+2/n}=1+1/n-1/(2n^2)+o(n^{-2}). 2. Multiplication par nn donne un=1−12n+o(1/n)u_n=1-\frac1{2n}+o(1/n), donc un→1u_n\to1. 3. n(un−1)=−1/2+o(1)n(u_n-1)=-1/2+o(1) ; par conséquent la limite vaut −1/2-1/2.

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