Maîtriser les complexes suppose de savoir passer d’une écriture algébrique à une écriture exponentielle, calculer les racines de l’unité et interpréter les quotients d’affixes sur une figure du plan.
L'essentiel à retenir
Tout complexe z=a+ib a pour module ∣z∣=a2+b2 ; si z=0, z=∣z∣eiθ où θ est un argument.
Formule de Moivre : (cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ).
Les racines n-ièmes de l’unité sont e2ikπ/n pour k∈{0,…,n−1}.
Pour a=b, le quotient zB−zAzC−zB donne un rapport de longueurs et un angle orienté : son module est BC/AB et son argument (AB,BC).
Un quotient égal à i décrit une rotation d’angle π/2 et une conservation des longueurs.
Exercice 1 — Forme trigonométrique et puissance
On considère z=−1+i3.
Calculer le module et un argument de z.
Écrire z sous forme exponentielle.
Calculer z3.
Corrigé détaillé
1. Module.∣z∣=(−1)2+(3)2=2.2. Argument.cosθ=−1/2 et sinθ=3/2, donc on peut prendre θ=2π/3. Ainsi z=2e2iπ/3.3. Puissance.z3=23e2iπ=8 par la formule de Moivre.
Exercice 2 — Racines de l’unité
Résoudre z4=1 dans C.
Donner les quatre racines sous forme exponentielle.
Les écrire sous forme algébrique.
Calculer leur somme et décrire leur position dans le plan.
Corrigé détaillé
1. Les solutions sont zk=e2ikπ/4=eikπ/2 pour k=0,1,2,3.2. On obtient successivement 1,i,−1,−i.3. Leur somme vaut 1+i−1−i=0. Elles sont sur le cercle unité et forment les sommets d’un carré centré à l’origine.
Exercice 3 — Interprétation géométrique
Dans le plan complexe, les points A, B et C ont pour affixes zA=0, zB=1 et zC=1+i.
Calculer zB−zAzC−zB.
En déduire la nature du triangle ABC.
Corrigé détaillé
1.1−0(1+i)−1=i, dont le module vaut 1 et un argument vaut π/2.2. Le quotient donne BC/AB=1 et un angle droit de AB vers BC. Ainsi AB=BC et AB⊥BC. Le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
Exercice 4 — Module et conjugué
Soit z=3−4i. Calculer ∣z∣, son conjugué, zz, puis l'inverse 1/z sous forme algébrique.
Corrigé détaillé
1.∣z∣=32+(−4)2=5. 2.z=3+4i et zz=∣z∣2=25. 3. En multipliant par le conjugué, 1/z=z/(zz)=(3+4i)/25.
Exercice 5 — Équation du second degré complexe
Résoudre z2−2z+5=0 dans C puis donner les modules des deux racines.
Corrigé détaillé
1. Le discriminant vaut Δ=(−2)2−4×5=−16. 2. Les racines sont z=(2±4i)/2=1±2i. 3. Les modules sont égaux à 1+4=5 ; les deux racines sont conjuguées, comme attendu pour un polynôme réel.
Exercice 6 — Forme exponentielle et puissance
Pour z=1+i, trouver le module et un argument, écrire la forme exponentielle et calculer z8.
Corrigé détaillé
1.∣z∣=2 et l'argument principal vaut π/4. 2.z=2eiπ/4. 3. Par la formule de Moivre, z8=(2)8ei2π=24=16.
Exercice 7 — Racines cubiques de l'unité
Résoudre z3=1, écrire toutes les racines en formes exponentielle et algébrique, puis calculer leur somme.
Corrigé détaillé
1.zk=e2ikπ/3 pour k=0,1,2. 2. On obtient 1, −1/2+i3/2 et −1/2−i3/2. 3. Leur somme vaut 1−1/2−1/2+i3/2−i3/2=0. Les trois points forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
Exercice 8 — Résoudre une équation de module
Déterminer le lieu géométrique des nombres complexes z=x+iy vérifiant ∣z−1∣=∣z+1∣, puis vérifier la forme du lieu.
Corrigé détaillé
1.∣z−1∣2=(x−1)2+y2 et ∣z+1∣2=(x+1)2+y2. 2. Égaler les carrés donne x2−2x+1+y2=x2+2x+1+y2, donc 4x=0. 3. Le lieu est x=0, c'est-à-dire l'axe imaginaire, médiatrice des points d'affixes −1 et 1.
Exercice 9 — Rotation dans le plan complexe
Une rotation de centre O et d'angle π/2 transforme une affixe z en iz. Calculer l'image de 2−i, vérifier la conservation du module et trouver quatre itérations.
Corrigé détaillé
1.i(2−i)=1+2i, donc l'affixe image est 1+2i. 2.∣2−i∣=5=∣1+2i∣ : les longueurs sont conservées. 3. Après quatre applications, l'affixe est i4z=z, car i4=1 : on retrouve le point initial.
Exercice 10 — Identité trigonométrique et Moivre
À partir de (cosx+isinx)2, déterminer cos(2x) et sin(2x) en fonction de cosx et sinx.
Corrigé détaillé
1. Développer : (cosx+isinx)2=cos2x−sin2x+2isinxcosx. 2. La formule de Moivre identifie la même quantité à cos(2x)+isin(2x). 3. En égalant parties réelle et imaginaire : cos(2x)=cos2x−sin2x, sin(2x)=2sinxcosx.