Université L1 / enseignement supérieur

Suites numériques : exercices corrigés L1

En L1, l’étude des suites demande de distinguer convergence, monotonie et comportement asymptotique. Commencez par choisir un outil : encadrement et point fixe, suites adjacentes ou développement asymptotique. Les dix exercices proposent une progression, des méthodes de preuve et plusieurs études asymptotiques.

L'essentiel à retenir

  • Une suite réelle (un)(u_n) converge vers ℓ\ell si, pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe NN tel que n≥N⇒∣un−ℓ∣<εn\ge N\Rightarrow |u_n-\ell|<\varepsilon.
  • Toute suite croissante majorée, ou décroissante minorée, converge (théorème de convergence monotone).
  • Deux suites sont adjacentes si l’une croît, l’autre décroît et leur différence tend vers 00 ; elles ont alors une limite commune.
  • Pour une récurrence un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), si un→ℓu_n\to\ell et ff est continue, alors ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell). Un point fixe candidat ne suffit pas à prouver la convergence.
  • Un équivalent un∼vnu_n\sim v_n signifie un/vn→1u_n/v_n\to1 lorsque le quotient est défini ; un développement asymptotique donne des corrections plus précises.

Exercice 1 — Récurrence et convergence

On définit u0=0u_0=0 et un+1=2+unu_{n+1}=\sqrt{2+u_n} pour n≥0n\ge0.
  1. Montrer que 0≤un≤20\le u_n\le2 pour tout nn.
  2. Montrer que (un)(u_n) est croissante.
  3. Déterminer sa limite.
Corrigé détaillé
1. Encadrement par récurrence. u0=0∈[0,2]u_0=0\in[0,2]. Si 0≤un≤20\le u_n\le2, alors 2≤2+un≤42\le2+u_n\le4, d’où 0≤2+un≤20\le\sqrt{2+u_n}\le2. Donc un∈[0,2]u_n\in[0,2] pour tout nn. 2. Monotonie. u1=2>u0u_1=\sqrt2>u_0. La fonction f(x)=2+xf(x)=\sqrt{2+x} est strictement croissante sur [0,2][0,2]. Si un+1≥unu_{n+1}\ge u_n, alors un+2=f(un+1)≥f(un)=un+1u_{n+2}=f(u_{n+1})\ge f(u_n)=u_{n+1}. La suite est croissante. 3. Limite. Croissante et majorée par 22, elle converge vers ℓ∈[0,2]\ell\in[0,2]. Par continuité, ℓ=2+ℓ\ell=\sqrt{2+\ell}, soit ℓ2−ℓ−2=0\ell^2-\ell-2=0, donc ℓ∈{−1,2}\ell\in\{-1,2\}. Comme ℓ≥0\ell\ge0, ℓ=2\boxed{\ell=2}.

Exercice 2 — Deux suites adjacentes

Pour n≥1n\ge1, on pose un=1−1n+1u_n=1-\dfrac1{n+1} et vn=1+1n(n+1)v_n=1+\dfrac1{n(n+1)}.
  1. Déterminer les variations de (un)(u_n) et de (vn)(v_n).
  2. Montrer que vn−un=1nv_n-u_n=\dfrac1n.
  3. En déduire leur limite commune.
Corrigé détaillé
1. un+1−un=1n+1−1n+2>0u_{n+1}-u_n=\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n+2}>0 : (un)(u_n) croît. Le nombre n(n+1)n(n+1) augmente avec nn, donc 1/[n(n+1)]1/[n(n+1)] diminue : (vn)(v_n) décroît. 2. vn−un=1n(n+1)+1n+1=n+1n(n+1)=1n>0v_n-u_n=\dfrac1{n(n+1)}+\dfrac1{n+1}=\dfrac{n+1}{n(n+1)}=\dfrac1n>0. 3. Comme 1/n→01/n\to0, les suites sont adjacentes. Leur limite commune vaut 1\boxed{1} (également visible sur les expressions explicites).

Exercice 3 — Comportement asymptotique

Pour n≥1n\ge1, soit un=(1+1n)nu_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n.
  1. Étudier la limite de ln⁡un\ln u_n.
  2. Déterminer lim⁡un\lim u_n.
  3. Calculer lim⁡n→∞n(e−un)\displaystyle\lim_{n\to\infty} n(e-u_n).
Corrigé détaillé
1. Le DL ln⁡(1+t)=t−t22+O(t3)\ln(1+t)=t-\dfrac{t^2}{2}+O(t^3) en t=0t=0 donne ln⁡un=nln⁡(1+1n)=1−12n+O(1n2).\ln u_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=1-\frac1{2n}+O\left(\frac1{n^2}\right). Il tend vers 11. 2. Par continuité de l’exponentielle, un→e\boxed{u_n\to e}. 3. En exponentiant : un=eexp⁡(−12n+O(n−2))=e(1−12n+O(n−2))u_n=e\exp\left(-\dfrac1{2n}+O(n^{-2})\right)=e\left(1-\dfrac1{2n}+O(n^{-2})\right). Ainsi e−un=e2n+O(n−2)e-u_n=\dfrac{e}{2n}+O(n^{-2}), donc n(e−un)→e/2\boxed{n(e-u_n)\to e/2}.

Exercice 4 — Suite géométrique et seuil

On pose un=500(0,92)nu_n=500(0{,}92)^n. 1. Montrer que la suite est décroissante et trouver sa limite. 2. Déterminer le premier rang avec un<250u_n<250. 3. Calculer Sn=∑k=0nukS_n=\sum_{k=0}^{n}u_k et sa limite.
Corrigé détaillé
1. un+1=0,92unu_{n+1}=0{,}92u_n avec 0<0,92<10<0{,}92<1 ; la suite est positive, strictement décroissante et tend vers 00. 2. un<250u_n<250 équivaut à 0,92n<0,50{,}92^n<0{,}5, puis à n>ln⁡(0,5)/ln⁡(0,92)≈8,31n>\ln(0{,}5)/\ln(0{,}92)\approx8{,}31 (inversion car le logarithme du quotient est négatif). Le premier rang est n=9n=9. 3. Somme géométrique : Sn=500(1−0,92n+1)/(1−0,92)=6250(1−0,92n+1)S_n=500(1-0{,}92^{n+1})/(1-0{,}92)=6250(1-0{,}92^{n+1}). Ainsi Sn→6250S_n\to6250.

Exercice 5 — Encadrement et limites partielles

Soit un=2n+(−1)nn+3u_n=\dfrac{2n+(-1)^n}{n+3}, n≥1n\ge1. 1. Encadrer unu_n. 2. Trouver sa limite par les gendarmes. 3. Étudier la convergence de n(un−2)n(u_n-2).
Corrigé détaillé
1. Comme −1≤(−1)n≤1-1\le(-1)^n\le1, (2n−1)/(n+3)≤un≤(2n+1)/(n+3)(2n-1)/(n+3)\le u_n\le(2n+1)/(n+3). 2. Les deux bornes convergent vers 22, donc un→2u_n\to2. 3. n(un−2)=nn+3((−1)n−6)n(u_n-2)=\frac{n}{n+3}((-1)^n-6). Pour les rangs pairs, la limite est −5-5 ; pour les rangs impairs, elle est −7-7. Comme ces limites sont distinctes, la suite transformée ne converge pas. La convergence de unu_n n'entraîne donc pas celle de n(un−2)n(u_n-2).

Exercice 6 — Récurrence affine

On définit u0=8u_0=8 et un+1=(un+6)/3u_{n+1}=(u_n+6)/3. 1. Déterminer le point fixe ℓ\ell. 2. Étudier vn=un−ℓv_n=u_n-\ell. 3. Trouver unu_n, ses variations et sa limite.
Corrigé détaillé
1. ℓ=(ℓ+6)/3\ell=(\ell+6)/3 donne ℓ=3\ell=3. 2. vn+1=(un+6)/3−3=(un−3)/3=vn/3v_{n+1}=(u_n+6)/3-3=(u_n-3)/3=v_n/3 ; la suite (vn)(v_n) est géométrique de raison 1/31/3 et v0=5v_0=5. 3. Ainsi un=3+5/3nu_n=3+5/3^n. La suite est strictement décroissante et minorée par 33, et sa limite est 33. On vérifie la formule au rang initial et par substitution dans la récurrence.

Exercice 7 — Suites adjacentes et invariant

Avec a0=1a_0=1, b0=5b_0=5, on définit an+1=(2an+bn)/3a_{n+1}=(2a_n+b_n)/3 et bn+1=(an+2bn)/3b_{n+1}=(a_n+2b_n)/3. 1. Étudier bn−anb_n-a_n. 2. Montrer que les suites sont adjacentes. 3. Calculer leur limite commune.
Corrigé détaillé
1. bn+1−an+1=(bn−an)/3b_{n+1}-a_{n+1}=(b_n-a_n)/3 ; comme b0−a0=4b_0-a_0=4, bn−an=4/3n>0b_n-a_n=4/3^n>0. 2. an+1−an=(bn−an)/3>0a_{n+1}-a_n=(b_n-a_n)/3>0 et bn+1−bn=(an−bn)/3<0b_{n+1}-b_n=(a_n-b_n)/3<0. L'une croît, l'autre décroît, et leur différence tend vers zéro : elles sont adjacentes. 3. an+1+bn+1=an+bn=6a_{n+1}+b_{n+1}=a_n+b_n=6. Les limites étant égales, elles valent chacune 33.

Exercice 8 — Rationalisation et équivalent

Posons un=n2+3n−nu_n=\sqrt{n^2+3n}-n pour n≥1n\ge1. 1. Trouver sa limite. 2. Établir un développement à l'ordre 1/n1/n. 3. Calculer lim⁡n(un−3/2)\lim n(u_n-3/2).
Corrigé détaillé
1. En multipliant par le conjugué, un=3/(1+3/n+1)u_n=3/(\sqrt{1+3/n}+1), d'où un→3/2u_n\to3/2. 2. 1+t=1+t/2+O(t2)\sqrt{1+t}=1+t/2+O(t^2) pour t→0t\to0, donc un=32+3/(2n)+O(n−2)=32−98n+O(n−2)u_n=\frac3{2+3/(2n)+O(n^{-2})}=\frac32-\frac9{8n}+O(n^{-2}). 3. Par multiplication par nn, lim⁡n→∞n(un−3/2)=−9/8\lim_{n\to\infty}n(u_n-3/2)=-9/8. L'équivalent de l'écart est −9/(8n)-9/(8n).

Exercice 9 — Sommes harmoniques

Soit Hn=∑k=1n1kH_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1k. 1. Étudier le sens de variation. 2. Regrouper les termes en blocs {2j−1+1,…,2j}\{2^{j-1}+1,\dots,2^j\} et minorer la somme de chaque bloc. 3. Déduire la limite de HnH_n.
Corrigé détaillé
1. Hn+1−Hn=1/(n+1)>0H_{n+1}-H_n=1/(n+1)>0 : HnH_n croît strictement. 2. Dans le bloc d'indice jj, il y a 2j−12^{j-1} termes tous au moins égaux à 1/2j1/2^j ; chaque bloc contribue au moins 1/21/2. Ainsi H2m≥1+m/2H_{2^m}\ge1+m/2. 3. Cette minoration tend vers +∞+\infty ; puisque HnH_n est croissante, Hn→+∞H_n\to+\infty. Le terme général 1/n1/n tend pourtant vers zéro : cela ne suffit pas à assurer la convergence d'une série.

Exercice 10 — Somme télescopique et précision

Définissons un=∑k=1n1k(k+1)u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}. 1. Décomposer les fractions. 2. Obtenir une formule fermée pour unu_n. 3. Déterminer la limite et le plus petit entier nn tel que 1−un<10−31-u_n<10^{-3}.
Corrigé détaillé
1. 1k(k+1)=1k−1k+1\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}, car (k+1)−k=1(k+1)-k=1. 2. Les termes intermédiaires s'annulent deux à deux : un=1−1n+1u_n=1-\frac1{n+1}. 3. La suite est croissante et converge vers 11. L'inégalité 1/(n+1)<10−31/(n+1)<10^{-3} équivaut à n+1>1000n+1>1000, donc n≥1000n\ge1000. Attention : il s'agit d'une inégalité stricte.

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