Université L1 / enseignement supérieur

Intégration et primitives : exercices corrigés L1

De la limite d’une somme de Riemann aux calculs de primitives, l’intégration en L1 repose sur trois gestes : reconnaître une somme intégrale, choisir une méthode de calcul et soigner les bornes après une substitution.

L'essentiel à retenir

  • Pour une fonction continue ff sur [a,b][a,b], les sommes de Riemann convergent vers ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx.
  • Sur un intervalle, une primitive FF de ff vérifie F′=fF\prime=f ; toutes les primitives sont F+CF+C.
  • Intégration par parties : ∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\int_a^b u v\prime=[uv]_a^b-\int_a^b u\prime v.
  • Changement de variable : si t=φ(x)t=\varphi(x) et φ\varphi est adaptée, ∫abf(φ(x))φ′(x) dx=∫φ(a)φ(b)f(t) dt\int_a^b f(\varphi(x))\varphi\prime(x)\,dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\,dt.
  • Les logarithmes de primitives s’écrivent ln⁡∣x∣\ln|x| quand le signe de la variable n’est pas fixé.

Exercice 1 — Une somme de Riemann

Soit Sn=1n∑k=1n(kn)2S_n=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2.
  1. Calculer SnS_n à l’aide de ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6.
  2. Déterminer sa limite.
  3. Identifier l’intégrale correspondante.
Corrigé détaillé
1. Sn=1n3∑k=1nk2=(n+1)(2n+1)6n2S_n=\dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}. 2. En divisant numérateur et dénominateur par n2n^2, on obtient Sn=(1+1/n)(2+1/n)6→13S_n=\dfrac{(1+1/n)(2+1/n)}6\to\boxed{\frac13}. 3. Il s’agit de la somme de Riemann à droite pour f(x)=x2f(x)=x^2 sur [0,1][0,1]. Donc lim⁡Sn=∫01x2 dx=[x3/3]01=1/3\lim S_n=\int_0^1x^2\,dx=\left[x^3/3\right]_0^1=1/3.

Exercice 2 — Intégration par parties

Calculer I=∫01xex dxI=\int_0^1 x e^x\,dx par intégration par parties.
Corrigé détaillé
1. Choix. Poser u=xu=x, dv=exdxdv=e^x dx. Alors du=dxdu=dx et v=exv=e^x. 2. Formule. I=[xex]01−∫01exdx=e−[ex]01I=[x e^x]_0^1-\int_0^1 e^x dx=e-[e^x]_0^1. 3. Résultat. I=e−(e−1)=1I=e-(e-1)=\boxed{1}. Une primitive est (x−1)ex+C(x-1)e^x+C.

Exercice 3 — Changement de variable

Calculer J=∫012x1+x2 dxJ=\int_0^1\dfrac{2x}{1+x^2}\,dx à l’aide du changement de variable t=1+x2t=1+x^2.
Corrigé détaillé
1. Substitution. t=1+x2t=1+x^2 entraîne dt=2x dxdt=2x\,dx. 2. Bornes. Si x=0x=0, t=1t=1 ; si x=1x=1, t=2t=2. 3. Calcul. J=∫12dtt=[ln⁡t]12=ln⁡2J=\int_1^2\frac{dt}{t}=[\ln t]_1^2=\boxed{\ln2}. On retrouve la primitive ln⁡(1+x2)\ln(1+x^2) sur R\mathbb R.

Exercice 4 — Primitive et condition initiale

Trouver la primitive FF de f(x)=3x2−4x+2f(x)=3x^2-4x+2 telle que F(1)=5F(1)=5. Détailler le calcul de la constante.
Corrigé détaillé
1. L'intégration terme à terme donne F(x)=x3−2x2+2x+CF(x)=x^3-2x^2+2x+C. 2. F(1)=1−2+2+C=1+CF(1)=1-2+2+C=1+C. La condition 1+C=51+C=5 donne C=4C=4. 3. Ainsi F(x)=x3−2x2+2x+4\boxed{F(x)=x^3-2x^2+2x+4}. Sa dérivée est bien f(x)f(x).

Exercice 5 — Aire entre deux courbes

Pour x∈[0,2]x\in[0,2], soit f(x)=2xf(x)=2x et g(x)=x2g(x)=x^2. 1. Comparer les fonctions. 2. Calculer l'aire entre leurs courbes. 3. Expliquer pourquoi cette aire est positive.
Corrigé détaillé
1. f(x)−g(x)=x(2−x)≥0f(x)-g(x)=x(2-x)\ge0 sur [0,2][0,2]. 2. L'aire vaut ∫02(2x−x2) dx=[x2−x3/3]02=4−8/3=4/3\int_0^2(2x-x^2)\,dx=[x^2-x^3/3]_0^2=4-8/3=\boxed{4/3}. 3. L'intégrande représente la distance verticale entre la courbe supérieure et la courbe inférieure, donc il est positif.

Exercice 6 — Intégration par parties avec logarithme

Calculer I=∫1eln⁡x dxI=\int_1^e\ln x\,dx en détaillant le choix de uu et dvdv, puis contrôler le résultat.
Corrigé détaillé
1. Choisir u=ln⁡xu=\ln x et dv=dxdv=dx, donc du=dx/xdu=dx/x et v=xv=x. 2. I=[xln⁡x]1e−∫1e1 dx=e−(e−1)=1I=[x\ln x]_1^e-\int_1^e1\,dx=e-(e-1)=\boxed1. 3. La primitive xln⁡x−xx\ln x-x donne le même résultat entre les bornes 11 et ee.

Exercice 7 — Substitution exponentielle

Évaluer J=∫01e2x+1 dxJ=\int_0^1 e^{2x+1}\,dx. 1. Poser t=2x+1t=2x+1. 2. Transformer les bornes et la différentielle. 3. Calculer JJ.
Corrigé détaillé
1. t=2x+1t=2x+1 donne dt=2 dxdt=2\,dx, soit dx=dt/2dx=dt/2. 2. Les bornes deviennent t=1t=1 et t=3t=3. 3. J=12∫13et dt=12[et]13=(e3−e)/2J=\frac12\int_1^3e^t\,dt=\frac12[e^t]_1^3=\boxed{(e^3-e)/2}. La dérivée de e2x+1/2e^{2x+1}/2 confirme la primitive.

Exercice 8 — Somme de Riemann linéaire

Calculer lim⁡n→∞1n∑k=1nkn\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}. 1. Identifier la fonction. 2. Reconnaître les rectangles. 3. Évaluer la limite.
Corrigé détaillé
1. Il s'agit de f(x)=xf(x)=x sur [0,1][0,1]. 2. Les points k/nk/n sont les extrémités droites des nn sous-intervalles de largeur 1/n1/n. 3. La somme converge vers ∫01x dx=[x2/2]01=1/2\int_0^1x\,dx=[x^2/2]_0^1=\boxed{1/2}. Vérification algébrique : (n+1)/(2n)→1/2(n+1)/(2n)\to1/2.

Exercice 9 — Intégrale trigonométrique

Calculer K=∫0π/2sin⁡xcos⁡x dxK=\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx de deux façons, par substitution puis par identité trigonométrique.
Corrigé détaillé
1. Avec t=sin⁡xt=\sin x, dt=cos⁡x dxdt=\cos x\,dx et les bornes 0,10,1, K=∫01t dt=1/2K=\int_0^1t\,dt=\boxed{1/2}. 2. Comme sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)\sin x\cos x=\frac12\sin(2x), K=[−cos⁡(2x)/4]0π/2=(−(−1)+1)/4=1/2K=[-\cos(2x)/4]_0^{\pi/2}=(-(-1)+1)/4=1/2. 3. Les deux méthodes concordent.

Exercice 10 — Intégrale avec paramètre

Pour a>0a>0, étudier I(a)=∫01dxa+xI(a)=\int_0^1\frac{dx}{a+x}. 1. Donner une primitive. 2. Calculer I(a)I(a). 3. Étudier sa variation en aa.
Corrigé détaillé
1. Comme a+x>0a+x>0, une primitive est ln⁡(a+x)\ln(a+x). 2. I(a)=ln⁡(a+1)−ln⁡a=ln⁡(1+1/a)I(a)=\ln(a+1)-\ln a=\boxed{\ln(1+1/a)}. 3. I′(a)=1/(a+1)−1/a=−1/[a(a+1)]<0I'(a)=1/(a+1)-1/a=-1/[a(a+1)]<0. La fonction II est strictement décroissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

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