Université L1 / enseignement supérieur

Équations différentielles : exercices corrigés L1

En première année universitaire, on résout les équations linéaires grâce à un facteur intégrant (ordre 1) ou une équation caractéristique (ordre 2 à coefficients constants). Les conditions initiales permettent ensuite de déterminer les constantes.

L'essentiel à retenir

  • L’équation y′+a(x)y=b(x)y\prime+a(x)y=b(x) se traite avec un facteur intégrant μ(x)=e∫a(x)dx\mu(x)=e^{\int a(x)dx} ; alors (μy)′=μb(\mu y)\prime=\mu b.
  • Pour y′′+ay′+by=0y\prime\prime+ay\prime+by=0, on résout r2+ar+b=0r^2+ar+b=0. Deux racines réelles distinctes r1,r2r_1,r_2 donnent y=Aer1x+Ber2xy=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}.
  • Une racine double rr donne y=(A+Bx)erxy=(A+Bx)e^{rx} ; deux racines complexes α±iβ\alpha\pm i\beta donnent eαx(Acos⁡βx+Bsin⁡βx)e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x).
  • Dans une équation non homogène, la solution générale est y=yh+ypy=y_h+y_p, où yhy_h résout l’équation homogène.
  • Si le second membre a la même forme qu’une solution homogène, on utilise un facteur supplémentaire xx (phénomène de résonance).

Exercice 1 — Équation du premier ordre

Résoudre y′+2y=e−xy\prime+2y=e^{-x} sur R\mathbb R, puis déterminer la solution vérifiant y(0)=0y(0)=0.
Corrigé détaillé
1. Facteur intégrant. Multiplier par e2xe^{2x} : (e2xy)′=ex(e^{2x}y)\prime=e^x. 2. Intégration. e2xy=ex+Ce^{2x}y=e^x+C, donc y(x)=e−x+Ce−2xy(x)=e^{-x}+Ce^{-2x}. 3. Condition initiale. 0=y(0)=1+C0=y(0)=1+C, ainsi C=−1C=-1. La solution cherchée est y(x)=e−x−e−2x\boxed{y(x)=e^{-x}-e^{-2x}}. Une dérivation permet de vérifier directement l’équation.

Exercice 2 — Second ordre homogène

Résoudre y′′−3y′+2y=0y\prime\prime-3y\prime+2y=0 avec les conditions y(0)=1y(0)=1 et y′(0)=0y\prime(0)=0.
Corrigé détaillé
1. Polynôme caractéristique. r2−3r+2=(r−1)(r−2)=0r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0. Les racines sont 11 et 22. 2. Solution générale. y(x)=Aex+Be2xy(x)=Ae^x+Be^{2x}, d’où y′(x)=Aex+2Be2xy\prime(x)=Ae^x+2Be^{2x}. 3. Conditions initiales. A+B=1A+B=1 et A+2B=0A+2B=0. En soustrayant, B=−1B=-1 puis A=2A=2. Donc y(x)=2ex−e2x\boxed{y(x)=2e^x-e^{2x}}.

Exercice 3 — Second ordre avec résonance

Résoudre y′′+y=cos⁡xy\prime\prime+y=\cos x avec y(0)=0y(0)=0 et y′(0)=1y\prime(0)=1.
Corrigé détaillé
1. Homogène. Les racines sont ±i\pm i : yh=Acos⁡x+Bsin⁡xy_h=A\cos x+B\sin x. 2. Particulière. Comme cos⁡x\cos x est déjà une solution homogène, on essaie yp=x2sin⁡xy_p=\frac{x}{2}\sin x. Alors yp′=12sin⁡x+x2cos⁡xy_p\prime=\frac12\sin x+\frac{x}{2}\cos x et yp′′=cos⁡x−x2sin⁡xy_p\prime\prime=\cos x-\frac{x}{2}\sin x, donc yp′′+yp=cos⁡xy_p\prime\prime+y_p=\cos x. 3. Conditions initiales. y(0)=A=0y(0)=A=0. De plus y′(0)=B=1y\prime(0)=B=1. Par suite y(x)=(1+x2)sin⁡x\boxed{y(x)=\left(1+\frac{x}{2}\right)\sin x}.

Exercice 4 — Premier ordre homogène

Résoudre y′+3y=0y'+3y=0 sur R\mathbb R, puis trouver la solution vérifiant y(0)=5y(0)=5 et sa limite en +∞+\infty.
Corrigé détaillé
1. Le facteur intégrant est e3xe^{3x} : (e3xy)′=0(e^{3x}y)'=0. 2. y(x)=Ce−3xy(x)=Ce^{-3x}, et y(0)=5y(0)=5 impose C=5C=5. 3. y(x)=5e−3x\boxed{y(x)=5e^{-3x}} et y(x)→0y(x)\to0 quand x→+∞x\to+\infty. La dérivation vérifie bien l'équation.

Exercice 5 — Premier ordre non homogène

Résoudre y′−y=2y'-y=2 et imposer y(0)=0y(0)=0. Donner aussi l'ensemble des solutions sans condition initiale.
Corrigé détaillé
1. L'équation homogène y′−y=0y'-y=0 donne yh=Cexy_h=Ce^x. 2. Une solution particulière constante yp=Ay_p=A doit vérifier −A=2-A=2, donc A=−2A=-2. 3. y=Cex−2y=Ce^x-2. Avec y(0)=0y(0)=0, C=2C=2 ; d'où y=2ex−2\boxed{y=2e^x-2}.

Exercice 6 — Premier ordre et facteur intégrant

Résoudre y′+2xy=2xy'+2xy=2x sur R\mathbb R en utilisant un facteur intégrant puis la condition y(0)=0y(0)=0.
Corrigé détaillé
1. Le facteur intégrant est μ(x)=e∫2xdx=ex2\mu(x)=e^{\int2x dx}=e^{x^2}. 2. On reconnaît (ex2y)′=2xex2=(ex2)′(e^{x^2}y)'=2xe^{x^2}=(e^{x^2})'. Donc ex2y=ex2+Ce^{x^2}y=e^{x^2}+C. 3. y=1+Ce−x2y=1+Ce^{-x^2} ; y(0)=0y(0)=0 entraîne C=−1C=-1. **Solution : y=1−e−x2\boxed{y=1-e^{-x^2}}.

Exercice 7 — Ordre deux, racines distinctes

Résoudre y′′−y=0y''-y=0 avec y(0)=0y(0)=0 et y′(0)=2y'(0)=2 à l'aide de l'équation caractéristique.
Corrigé détaillé
1. Le polynôme caractéristique r2−1=(r−1)(r+1)r^2-1=(r-1)(r+1) a deux racines 11 et −1-1. 2. La solution générale est y=Aex+Be−xy=Ae^x+Be^{-x}. 3. A+B=0A+B=0 et A−B=2A-B=2, donc A=1A=1, B=−1B=-1. **Solution : y=ex−e−x\boxed{y=e^x-e^{-x}}.

Exercice 8 — Racine caractéristique double

Résoudre y′′−4y′+4y=0y''-4y'+4y=0 avec y(0)=1y(0)=1 et y′(0)=0y'(0)=0.
Corrigé détaillé
1. L'équation caractéristique (r−2)2=0(r-2)^2=0 possède une racine double 22. 2. La solution générale s'écrit y=(A+Bx)e2xy=(A+Bx)e^{2x}. 3. y(0)=A=1y(0)=A=1. Dérivation : y′=(B+2A+2Bx)e2xy'=(B+2A+2Bx)e^{2x}, donc y′(0)=B+2=0y'(0)=B+2=0 ; B=−2B=-2. **y=(1−2x)e2x\boxed{y=(1-2x)e^{2x}}.

Exercice 9 — Racines complexes conjuguées

Résoudre y′′+4y=0y''+4y=0 avec y(0)=1y(0)=1, y′(0)=2y'(0)=2. Établir la période de la solution.
Corrigé détaillé
1. L'équation caractéristique r2+4=0r^2+4=0 donne r=±2ir=\pm2i. 2. On écrit y=Acos⁡(2x)+Bsin⁡(2x)y=A\cos(2x)+B\sin(2x). 3. y(0)=A=1y(0)=A=1 et y′(0)=2B=2y'(0)=2B=2, donc B=1B=1. Ainsi y=cos⁡(2x)+sin⁡(2x)\boxed{y=\cos(2x)+\sin(2x)}, de période fondamentale π\pi.

Exercice 10 — Forçage polynomial

Résoudre y′′+y=1y''+y=1 avec y(0)=0y(0)=0 et y′(0)=0y'(0)=0. Vérifier directement le résultat.
Corrigé détaillé
1. L'homogène a pour solutions Acos⁡x+Bsin⁡xA\cos x+B\sin x. 2. La fonction constante yp=1y_p=1 est particulière puisque yp′′+yp=1y_p''+y_p=1. 3. Donc y=1+Acos⁡x+Bsin⁡xy=1+A\cos x+B\sin x. À 00, 1+A=01+A=0 et B=0B=0, d'où y(x)=1−cos⁡x\boxed{y(x)=1-\cos x}. Vérification : y′′=cos⁡xy''=\cos x et y′′+y=1y''+y=1.

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