Université L1 / enseignement supérieur

Systèmes linéaires et pivot de Gauss : exercices corrigés L1

La méthode du pivot de Gauss consiste à transformer une matrice augmentée par opérations élémentaires sur les lignes, sans modifier l’ensemble des solutions. On distinguera les systèmes à solution unique, ceux admettant une infinité de solutions, et les systèmes incompatibles.

L'essentiel à retenir

  • Les opérations élémentaires autorisées sont : permuter deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, et ajouter à une ligne un multiple d’une autre.
  • Le système AX=bAX=b est compatible si son rang est égal à celui de la matrice augmentée (A∣b)(A\mid b).
  • Si AA a nn inconnues et rg⁡A=n\operatorname{rg}A=n, un système compatible a une solution unique.
  • Un système homogène AX=0AX=0 est toujours compatible ; son espace de solutions est ker⁡A\ker A de dimension n−rg⁡An-\operatorname{rg}A.
  • Un pivot nul peut imposer une permutation de lignes ; chaque opération doit être appliquée aussi au second membre.

Exercice 1 — Pivot de Gauss : solution unique

Résoudre le système {x+y+z=6,2x−y+z=3,x+2y−z=2.\begin{cases}x+y+z=6,\\2x-y+z=3,\\x+2y-z=2.\end{cases} Détailler les opérations élémentaires sur les lignes.
Corrigé détaillé
1. Matrice augmentée. (11162−11312−12).\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right). 2. Élimination. Faire L2←L2−2L1L_2\leftarrow L_2-2L_1 et L3←L3−L1L_3\leftarrow L_3-L_1 : (11160−3−1−901−2−4).\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right). Les deux dernières lignes correspondent à 3y+z=93y+z=9 et y−2z=−4y-2z=-4. 3. Substitution. y=2z−4y=2z-4. Alors 3(2z−4)+z=93(2z-4)+z=9, donc 7z=217z=21, d’où z=3z=3 ; puis y=2y=2 et x=6−2−3=1x=6-2-3=1. Solution unique : (x,y,z)=(1,2,3)\boxed{(x,y,z)=(1,2,3)}.

Exercice 2 — Discuter un paramètre

Pour a∈Ra\in\mathbb R, résoudre et discuter le système {x+y=2,2x+ay=4.\begin{cases}x+y=2,\\2x+ay=4.\end{cases}
Corrigé détaillé
1. Élimination. Faire L2←L2−2L1L_2\leftarrow L_2-2L_1. On obtient (a−2)y=0(a-2)y=0. 2. Si a≠2a\ne2. Alors y=0y=0, puis x=2x=2. Il y a une solution unique : (2,0)\boxed{(2,0)}. 3. Si a=2a=2. La seconde équation est exactement le double de la première. Il y a une infinité de solutions : (x,y)=(2−t,t), t∈R\boxed{(x,y)=(2-t,t),\ t\in\mathbb R}. Il n’y a aucun cas sans solution, car le second membre est compatible pour tout aa.

Exercice 3 — Système homogène et base du noyau

Résoudre dans R3\mathbb R^3 le système homogène {x+2y−z=0,2x+4y−2z=0,y+z=0.\begin{cases}x+2y-z=0,\\2x+4y-2z=0,\\y+z=0.\end{cases} Donner une base et la dimension de l’espace des solutions.
Corrigé détaillé
1. Redondance. La seconde équation vaut deux fois la première : elle n’apporte aucune condition supplémentaire. 2. Paramétrage. La troisième impose z=−yz=-y. La première donne x+2y−(−y)=0x+2y-(-y)=0, donc x=−3yx=-3y. 3. Ensemble des solutions. Avec t=yt=y, (x,y,z)=t(−3,1,−1)(x,y,z)=t(-3,1,-1). Donc S=Vect⁡((−3,1,−1))\boxed{S=\operatorname{Vect}((-3,1,-1))}, et sa dimension est 1\boxed{1}. Le rang de la matrice vaut 3−1=23-1=2.

Exercice 4 — Système triangulaire

Résoudre {x+y+z=4y+z=3z=2\begin{cases}x+y+z=4\\y+z=3\\z=2\end{cases} par remontée. Vérifier ensuite toutes les égalités.
Corrigé détaillé
1. La dernière équation donne z=2z=2. 2. La deuxième impose y=3−z=1y=3-z=1. 3. La première donne x=4−y−z=1x=4-y-z=1. La solution unique est (x,y,z)=(1,1,2)(x,y,z)=(1,1,2). Substitution : 1+1+2=41+1+2=4, 1+2=31+2=3 et z=2z=2.

Exercice 5 — Pivot et solution unique

Résoudre {x+y=52x−y=1\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases} avec une opération élémentaire sur les lignes et donner la matrice augmentée finale.
Corrigé détaillé
1. La matrice initiale est (1152−11)\left(\begin{array}{cc|c}1&1&5\\2&-1&1\end{array}\right). 2. L2←L2−2L1L_2\leftarrow L_2-2L_1 conduit à (1150−3−9)\left(\begin{array}{cc|c}1&1&5\\0&-3&-9\end{array}\right). 3. On obtient y=3y=3 puis x=2x=2. La solution (2,3)(2,3) est unique car les deux pivots sont non nuls.

Exercice 6 — Système incompatible

Discuter {x+y=22x+2y=5\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=5\end{cases}. Appliquer le pivot de Gauss et interpréter le résultat.
Corrigé détaillé
1. Dans la matrice augmentée, l'opération L2←L2−2L1L_2\leftarrow L_2-2L_1 donne la ligne (0,0∣1)(0,0\mid1). 2. Elle correspond à l'égalité impossible 0=10=1. 3. Le système est donc sans solution. Géométriquement, les équations décrivent deux droites parallèles distinctes.

Exercice 7 — Système avec une infinité de solutions

Résoudre {x+2y−z=12x+4y−2z=2\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y-2z=2\end{cases} puis déterminer la dimension de l'ensemble de solutions.
Corrigé détaillé
1. La seconde ligne est deux fois la première ; le pivot la transforme en 0=00=0. 2. Avec y=sy=s et z=tz=t, on obtient x=1−2s+tx=1-2s+t. 3. L'ensemble affine des solutions est (1−2s+t,s,t)(1-2s+t,s,t), (s,t)∈R2(s,t)\in\mathbb R^2. Sa direction vectorielle est de dimension deux, puisque deux paramètres sont libres.

Exercice 8 — Déterminant et unicité

Pour A=(a11a)A=\begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}, déterminer pour quelles valeurs de aa le système AX=(1,1)TAX=(1,1)^T admet une solution unique.
Corrigé détaillé
1. Le déterminant vaut a2−1=(a−1)(a+1)a^2-1=(a-1)(a+1). 2. Pour a≠±1a\ne\pm1, la matrice est inversible : il existe une solution unique. Les équations symétriques donnent alors x=y=1/(a+1)x=y=1/(a+1). 3. Si a=1a=1, les deux équations se confondent, donc une infinité de solutions x+y=1x+y=1. Si a=−1a=-1, elles sont contradictoires, donc aucune solution.

Exercice 9 — Matrice échelonnée et rang

Échelonner A=(121242011)A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&2\\0&1&1\end{pmatrix} et déterminer le rang et le nombre de variables libres du système homogène.
Corrigé détaillé
1. L'opération L2←L2−2L1L_2\leftarrow L_2-2L_1 annule toute la deuxième ligne. 2. En échangeant les deuxième et troisième lignes, on obtient deux pivots dans les colonnes 1 et 2 : le rang est 2. 3. Sur trois inconnues, le noyau est de dimension 3−2=13-2=1. En résolvant y+z=0y+z=0 et x+2y+z=0x+2y+z=0, on trouve (x,y,z)=t(1,−1,1)(x,y,z)=t(1,-1,1).

Exercice 10 — Discussion à paramètre

Résoudre selon a∈Ra\in\mathbb R le système {x+y=3x+ay=1\begin{cases}x+y=3\\x+ay=1\end{cases}. Distinguer les cas unique et impossible.
Corrigé détaillé
1. L2←L2−L1L_2\leftarrow L_2-L_1 donne (a−1)y=−2(a-1)y=-2. 2. Si a≠1a\ne1, alors y=−2/(a−1)y=-2/(a-1), puis x=3+2/(a−1)x=3+2/(a-1). Il y a une solution unique. 3. Si a=1a=1, l'élimination donne 0=−20=-2, contradiction : aucune solution. Il n'y a aucun cas de solutions infinies.

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