Première non-spécialité

Suites géométriques et évolutions relatives — 10 exercices corrigés

Dix exercices progressifs du programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique de Première générale. Chaque énoncé propose trois questions séparées et un corrigé détaillé en trois étapes.

L'essentiel à retenir

Suite géométrique : $u_{n+1}=qu_n$ et $u_n=u_0q^n$ .
Une évolution de $t\%$ par période donne $q=1+t/100$ .
Si $q>1$ et $u_0>0$ , la suite est croissante.

Exercice 1 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 1

1. Un capital initial vaut 100 € et augmente de 5 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 2 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 5 % donne

q=1+5/100=\boxed{1{,}05}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}05u_n

, d'où

\boxed{u_n=100\times(1{,}05)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 2 ans :

u_2=100\times(1{,}05)^{2}\approx\boxed{110{,}25\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

Exercice 2 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 2

1. Un capital initial vaut 120 € et augmente de 10 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 3 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 10 % donne

q=1+10/100=\boxed{1{,}1}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}1u_n

, d'où

\boxed{u_n=120\times(1{,}1)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 3 ans :

u_3=120\times(1{,}1)^{3}\approx\boxed{159{,}72\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

Exercice 3 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 3

1. Un capital initial vaut 140 € et augmente de 15 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 4 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 15 % donne

q=1+15/100=\boxed{1{,}15}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}15u_n

, d'où

\boxed{u_n=140\times(1{,}15)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 4 ans :

u_4=140\times(1{,}15)^{4}\approx\boxed{244{,}86\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

Exercice 4 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 4

1. Un capital initial vaut 160 € et augmente de 5 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 5 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 5 % donne

q=1+5/100=\boxed{1{,}05}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}05u_n

, d'où

\boxed{u_n=160\times(1{,}05)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 5 ans :

u_5=160\times(1{,}05)^{5}\approx\boxed{204{,}21\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

Exercice 5 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 5

1. Un capital initial vaut 180 € et augmente de 10 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 2 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 10 % donne

q=1+10/100=\boxed{1{,}1}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}1u_n

, d'où

\boxed{u_n=180\times(1{,}1)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 2 ans :

u_2=180\times(1{,}1)^{2}\approx\boxed{217{,}80\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

Exercice 6 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 6

1. Un capital initial vaut 200 € et augmente de 15 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 3 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 15 % donne

q=1+15/100=\boxed{1{,}15}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}15u_n

, d'où

\boxed{u_n=200\times(1{,}15)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 3 ans :

u_3=200\times(1{,}15)^{3}\approx\boxed{304{,}17\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

Exercice 7 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 7

1. Un capital initial vaut 220 € et augmente de 5 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 4 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 5 % donne

q=1+5/100=\boxed{1{,}05}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}05u_n

, d'où

\boxed{u_n=220\times(1{,}05)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 4 ans :

u_4=220\times(1{,}05)^{4}\approx\boxed{267{,}41\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

Exercice 8 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 8

1. Un capital initial vaut 240 € et augmente de 10 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 5 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 10 % donne

q=1+10/100=\boxed{1{,}1}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}1u_n

, d'où

\boxed{u_n=240\times(1{,}1)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 5 ans :

u_5=240\times(1{,}1)^{5}\approx\boxed{386{,}52\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

Exercice 9 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 9

1. Un capital initial vaut 260 € et augmente de 15 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 2 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 15 % donne

q=1+15/100=\boxed{1{,}15}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}15u_n

, d'où

\boxed{u_n=260\times(1{,}15)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 2 ans :

u_2=260\times(1{,}15)^{2}\approx\boxed{343{,}85\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

Exercice 10 — Suite géométrique et intérêts composés — situation 10

1. Un capital initial vaut 280 € et augmente de 5 % chaque année. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel. 2. Écrire la relation de récurrence et le terme général

u_n

. 3. Calculer le capital après 3 ans, arrondi au centime, et donner le sens de variation de la suite.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse de 5 % donne

q=1+5/100=\boxed{1{,}05}

. Étape 2 — Effectuer le calcul. On multiplie chaque année par

q

u_{n+1}=1{,}05u_n

, d'où

\boxed{u_n=280\times(1{,}05)^n}

. Étape 3 — Interpréter le résultat. Après 3 ans :

u_3=280\times(1{,}05)^{3}\approx\boxed{324{,}14\,\text{euros}}

. La raison est supérieure à 1 et les termes sont positifs : la suite est croissante.

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