Première non-spécialité

Suites arithmétiques et évolutions linéaires — 10 exercices corrigés

Dix exercices progressifs du programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique de Première générale. Chaque énoncé propose trois questions séparées et un corrigé détaillé en trois étapes.

L'essentiel à retenir

  • Suite arithmétique : un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r et un=u0+nru_n=u_0+nr.
  • Une raison positive entraîne une croissance.
  • Un seuil se détermine en résolvant une inégalité sur nn.

Exercice 1 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 1

1. Un budget vaut u0=70u_0=70 € et augmente de 3 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u4u_4. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥88u_k\ge88 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 3 € correspond à un+1=un+3u_{n+1}=u_n+3. La suite est arithmétique : un=70+3n\boxed{u_n=70+3n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 4 : u4=70+4×3=82 eurosu_4=70+4\times3=\boxed{82\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 70+3k≥8870+3k\ge88, soit k≥6k\ge6. Le premier rang entier est k=6\boxed{k=6}.

Exercice 2 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 2

1. Un budget vaut u0=75u_0=75 € et augmente de 4 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u5u_5. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥103u_k\ge103 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 4 € correspond à un+1=un+4u_{n+1}=u_n+4. La suite est arithmétique : un=75+4n\boxed{u_n=75+4n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 5 : u5=75+5×4=95 eurosu_5=75+5\times4=\boxed{95\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 75+4k≥10375+4k\ge103, soit k≥7k\ge7. Le premier rang entier est k=7\boxed{k=7}.

Exercice 3 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 3

1. Un budget vaut u0=80u_0=80 € et augmente de 5 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u6u_6. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥120u_k\ge120 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 5 € correspond à un+1=un+5u_{n+1}=u_n+5. La suite est arithmétique : un=80+5n\boxed{u_n=80+5n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 6 : u6=80+6×5=110 eurosu_6=80+6\times5=\boxed{110\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 80+5k≥12080+5k\ge120, soit k≥8k\ge8. Le premier rang entier est k=8\boxed{k=8}.

Exercice 4 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 4

1. Un budget vaut u0=85u_0=85 € et augmente de 6 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u7u_7. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥139u_k\ge139 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 6 € correspond à un+1=un+6u_{n+1}=u_n+6. La suite est arithmétique : un=85+6n\boxed{u_n=85+6n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 7 : u7=85+7×6=127 eurosu_7=85+7\times6=\boxed{127\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 85+6k≥13985+6k\ge139, soit k≥9k\ge9. Le premier rang entier est k=9\boxed{k=9}.

Exercice 5 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 5

1. Un budget vaut u0=90u_0=90 € et augmente de 7 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u4u_4. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥132u_k\ge132 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 7 € correspond à un+1=un+7u_{n+1}=u_n+7. La suite est arithmétique : un=90+7n\boxed{u_n=90+7n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 4 : u4=90+4×7=118 eurosu_4=90+4\times7=\boxed{118\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 90+7k≥13290+7k\ge132, soit k≥6k\ge6. Le premier rang entier est k=6\boxed{k=6}.

Exercice 6 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 6

1. Un budget vaut u0=95u_0=95 € et augmente de 3 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u5u_5. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥116u_k\ge116 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 3 € correspond à un+1=un+3u_{n+1}=u_n+3. La suite est arithmétique : un=95+3n\boxed{u_n=95+3n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 5 : u5=95+5×3=110 eurosu_5=95+5\times3=\boxed{110\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 95+3k≥11695+3k\ge116, soit k≥7k\ge7. Le premier rang entier est k=7\boxed{k=7}.

Exercice 7 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 7

1. Un budget vaut u0=100u_0=100 € et augmente de 4 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u6u_6. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥132u_k\ge132 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 4 € correspond à un+1=un+4u_{n+1}=u_n+4. La suite est arithmétique : un=100+4n\boxed{u_n=100+4n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 6 : u6=100+6×4=124 eurosu_6=100+6\times4=\boxed{124\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 100+4k≥132100+4k\ge132, soit k≥8k\ge8. Le premier rang entier est k=8\boxed{k=8}.

Exercice 8 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 8

1. Un budget vaut u0=105u_0=105 € et augmente de 5 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u7u_7. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥150u_k\ge150 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 5 € correspond à un+1=un+5u_{n+1}=u_n+5. La suite est arithmétique : un=105+5n\boxed{u_n=105+5n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 7 : u7=105+7×5=140 eurosu_7=105+7\times5=\boxed{140\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 105+5k≥150105+5k\ge150, soit k≥9k\ge9. Le premier rang entier est k=9\boxed{k=9}.

Exercice 9 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 9

1. Un budget vaut u0=110u_0=110 € et augmente de 6 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u4u_4. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥146u_k\ge146 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 6 € correspond à un+1=un+6u_{n+1}=u_n+6. La suite est arithmétique : un=110+6n\boxed{u_n=110+6n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 4 : u4=110+4×6=134 eurosu_4=110+4\times6=\boxed{134\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 110+6k≥146110+6k\ge146, soit k≥6k\ge6. Le premier rang entier est k=6\boxed{k=6}.

Exercice 10 — Évolution arithmétique d'un budget — cas 10

1. Un budget vaut u0=115u_0=115 € et augmente de 7 € chaque année. Écrire la relation de récurrence puis l'expression de unu_n. 2. Calculer u5u_5. 3. Déterminer le premier rang kk pour lequel uk≥164u_k\ge164 €.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Une hausse constante de 7 € correspond à un+1=un+7u_{n+1}=u_n+7. La suite est arithmétique : un=115+7n\boxed{u_n=115+7n}. Étape 2 — Effectuer le calcul. Au rang 5 : u5=115+5×7=150 eurosu_5=115+5\times7=\boxed{150\,\text{euros}}. Étape 3 — Interpréter le résultat. On résout 115+7k≥164115+7k\ge164, soit k≥7k\ge7. Le premier rang entier est k=7\boxed{k=7}.

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