Première spécialité maths

Produit scalaire et géométrie du triangle — 10 exercices corrigés de Première spé

Dix exercices progressifs sur produit scalaire et géométrie du triangle et leurs corrigés expliqués.

L'essentiel à retenir

  • u⃗⋅v⃗=uxvx+uyvy\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y en repère orthonormé.
  • u⃗⋅v⃗=∥u∥∥v∥cos⁡θ\vec u\cdot\vec v=\|u\|\|v\|\cos\theta.
  • Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Exercice 1 — Produit scalaire en coordonnées

Calculer (2,−1)⋅(3,4)(2,-1)\cdot(3,4) et conclure sur le signe de l'angle.
Corrigé détaillé
1. u⋅v=2⋅3+(−1)⋅4=6−4=2u\cdot v=2\cdot3+(-1)\cdot4=6-4=\boxed2. 2. Les deux vecteurs sont non nuls et le produit est positif. 3. Le cosinus de leur angle est positif : l'angle non orienté est aigu.

Exercice 2 — Orthogonalité simple

Vérifier que u=(3,2)u=(3,2) et v=(2,−3)v=(2,-3) sont orthogonaux.
Corrigé détaillé
1. u⋅v=3⋅2+2⋅(−3)=6−6=0u\cdot v=3\cdot2+2\cdot(-3)=6-6=0. 2. Les vecteurs sont non nuls. 3. Le produit scalaire nul prouve u⊥v\boxed{u\perp v}.

Exercice 3 — Déterminer un angle

Calculer l'angle non orienté entre u=(1,0)u=(1,0) et v=(1,1)v=(1,1).
Corrigé détaillé
1. u⋅v=1u\cdot v=1 ; ∥u∥=1\|u\|=1 et ∥v∥=2\|v\|=\sqrt2. 2. cos⁡θ=(u⋅v)/(∥u∥∥v∥)=1/2\cos\theta=(u\cdot v)/(\|u\|\|v\|)=1/\sqrt2. 3. Ainsi θ=π/4\theta=\boxed{\pi/4}, soit 45°.

Exercice 4 — Projeté orthogonal

Dans le plan, u=(4,3)u=(4,3) et v=(1,0)v=(1,0). Calculer la projection scalaire de uu sur vv.
Corrigé détaillé
1. u⋅v=4u\cdot v=4. 2. ∥v∥=1\|v\|=1. 3. La projection scalaire est (u⋅v)/∥v∥=4(u\cdot v)/\|v\|=\boxed4. La composante horizontale du vecteur uu vaut bien 4.

Exercice 5 — Angle dans un triangle

Dans un triangle, AB=3AB=3, AC=4AC=4 et BAC^=60∘\widehat{BAC}=60^\circ. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
Corrigé détaillé
1. La formule géométrique donne AB⋅ACcos⁡(BAC^)AB\cdot AC\cos(\widehat{BAC}). 2. cos⁡60∘=1/2\cos60^\circ=1/2. 3. AB→⋅AC→=3⋅4⋅1/2=6\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\cdot4\cdot1/2=\boxed6.

Exercice 6 — Théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle ABCABC, AB=5AB=5, AC=7AC=7 et BAC^=60∘\widehat{BAC}=60^\circ. Déterminer BCBC.
Corrigé détaillé
1. Le théorème d'Al-Kashi donne BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos⁡60∘BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos60^\circ. 2. BC2=25+49−2⋅5⋅7⋅1/2=74−35=39BC^2=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot1/2=74-35=39. 3. Donc BC=39\boxed{BC=\sqrt{39}}.

Exercice 7 — Parallélisme et produit scalaire

Deux vecteurs u=(1,2)u=(1,2) et v=(2,4)v=(2,4) sont-ils orthogonaux ou colinéaires ? Justifier.
Corrigé détaillé
1. v=2uv=2u : les vecteurs sont colinéaires. 2. u⋅v=2+8=10≠0u\cdot v=2+8=10\ne0, donc ils ne sont pas orthogonaux. 3. Deux vecteurs non nuls colinéaires ont la même direction, éventuellement de sens opposé.

Exercice 8 — Nature d'un triangle repéré

Pour A(0,0)A(0,0), B(3,0)B(3,0) et C(0,4)C(0,4), montrer que ABCABC est rectangle et calculer son aire.
Corrigé détaillé
1. AB→=(3,0)\overrightarrow{AB}=(3,0) et AC→=(0,4)\overrightarrow{AC}=(0,4) : leur produit scalaire vaut 0. 2. Le triangle est rectangle en AA. 3. Son aire vaut AB⋅AC/2=3⋅4/2=6AB\cdot AC/2=3\cdot4/2=\boxed6 unités d'aire.

Exercice 9 — Médiane d'un triangle

A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0), C(2,6)C(2,6). Calculer le milieu II de [BC][BC] et la longueur AIAI.
Corrigé détaillé
1. Le milieu II de B(4,0)B(4,0) et C(2,6)C(2,6) vaut (3,3)(3,3). 2. AI→=(3,3)\overrightarrow{AI}=(3,3). 3. La longueur de la médiane est AI=32+32=32AI=\sqrt{3^2+3^2}=\boxed{3\sqrt2}.

Exercice 10 — Équation d'orthogonalité

Déterminer a∈Ra\in\mathbb R pour que u=(a,2)u=(a,2) et v=(3,−6)v=(3,-6) soient orthogonaux.
Corrigé détaillé
1. Il faut u⋅v=0u\cdot v=0. 2. 3a+2(−6)=3a−12=03a+2(-6)=3a-12=0. 3. La valeur cherchée est a=4\boxed{a=4} ; elle donne u=(4,2)u=(4,2), dont le produit scalaire avec vv est effectivement nul.

Besoin d'aide sur ce chapitre ?

Réserver le bilan offert de 30 minCours particuliers de maths Première