Terminale spécialité maths

Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace : 10 exercices corrigés Terminale

Dix exercices progressifs corrigés sur produit scalaire et orthogonalité dans l'espace, avec rappels et méthodes.

L'essentiel à retenir

  • En repère orthonormé : u⃗⋅v⃗=uxvx+uyvy+uzvz\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z.
  • u⃗⊥v⃗\vec u\perp\vec v équivaut à u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0 pour des vecteurs non nuls.
  • Un vecteur normal à un plan est orthogonal à toutes ses directions.

Exercice 1 — Produit scalaire direct

Calculer (1,2,−1)⋅(3,0,4)(1,2,-1)\cdot(3,0,4).
Corrigé détaillé
Le produit scalaire est 1×3+2×0+(−1)×4=3−4=−11\times3+2\times0+(-1)\times4=3-4=\boxed{-1}. Le résultat négatif traduit un angle obtus entre les deux vecteurs non nuls.

Exercice 2 — Orthogonalité

Vérifier que u=(1,1,0)u=(1,1,0) est orthogonal à v=(1,−1,3)v=(1,-1,3).
Corrigé détaillé
u⋅v=1×1+1×(−1)+0×3=0u\cdot v=1\times1+1\times(-1)+0\times3=0. Comme les vecteurs sont non nuls, leur produit scalaire nul implique u⊥vu\perp v.

Exercice 3 — Norme d'un vecteur

Déterminer la norme de u=(2,−3,6)u=(2,-3,6) dans un repère orthonormé.
Corrigé détaillé
La norme vaut ∥u∥=u⋅u=22+(−3)2+62=4+9+36=7\|u\|=\sqrt{u\cdot u}=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\boxed7. Le calcul est la version spatiale du théorème de Pythagore.

Exercice 4 — Angle entre deux vecteurs

Déterminer le cosinus de l'angle entre u=(1,0,0)u=(1,0,0) et v=(1,1,0)v=(1,1,0).
Corrigé détaillé
u⋅v=1u\cdot v=1 ; ∥u∥=1\|u\|=1 et ∥v∥=2\|v\|=\sqrt2. La formule u⋅v=∥u∥∥v∥cos⁡θu\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta donne cos⁡θ=1/2=2/2\cos\theta=1/\sqrt2=\sqrt2/2. Ainsi θ=π/4\theta=\pi/4.

Exercice 5 — Vecteur normal

Vérifier que n=(1,2,−1)n=(1,2,-1) est normal au plan P:x+2y−z=4P:x+2y-z=4.
Corrigé détaillé
Un plan ax+by+cz=dax+by+cz=d admet le vecteur (a,b,c)(a,b,c) comme normal. Ici les coefficients de x,y,zx,y,z sont 1,2,−11,2,-1, exactement ceux de nn. Donc nn est normal à PP.

Exercice 6 — Équation de sphère

Identifier le centre et le rayon de la sphère (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9.
Corrigé détaillé
L'équation d'une sphère est (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. Par identification, le centre vaut C(1,−2,3)C(1,-2,3) et le rayon est R=3R=3 puisque R2=9R^2=9.

Exercice 7 — Distance entre deux points

Calculer ABAB pour A(2,−1,3)A(2,-1,3) et B(5,3,3)B(5,3,3), puis le produit scalaire AB⋅ABAB\cdot AB.
Corrigé détaillé
AB→=(3,4,0)\overrightarrow{AB}=(3,4,0). Alors AB→⋅AB→=32+42+02=25\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=3^2+4^2+0^2=25. La distance est la racine carrée : AB=25=5AB=\sqrt{25}=5.

Exercice 8 — Orthogonalité d'une droite et d'un plan

La droite de direction u=(2,−1,3)u=(2,-1,3) est-elle orthogonale au plan P:2x−y+3z=1P:2x-y+3z=1 ?
Corrigé détaillé
Le vecteur normal du plan est n=(2,−1,3)n=(2,-1,3). La direction de la droite est égale à nn, donc elle est colinéaire au vecteur normal. La droite est perpendiculaire au plan ; cela ne nécessite pas de connaître un point d'intersection.

Exercice 9 — Projeté orthogonal simple

Déterminer le projeté orthogonal de M(1,2,3)M(1,2,3) sur le plan z=0z=0.
Corrigé détaillé
Le plan z=0z=0 est le plan horizontal, normal à (0,0,1)(0,0,1). La projection orthogonale conserve les coordonnées xx et yy et annule zz. Ainsi H(1,2,0)H(1,2,0) et MH→=(0,0,−3)\overrightarrow{MH}=(0,0,-3) est normal au plan.

Exercice 10 — Distance d'un point à un plan

Calculer la distance de M(1,2,5)M(1,2,5) au plan z=2z=2 en repère orthonormé.
Corrigé détaillé
Le plan est parallèle au plan horizontal. La projection orthogonale de MM est H(1,2,2)H(1,2,2). Donc MH=∣5−2∣=3MH=|5-2|=\boxed3. On retrouve la formule générale de distance à ax+by+cz=dax+by+cz=d avec a=b=0,c=1,d=2a=b=0,c=1,d=2.

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