Terminale spécialité maths

Probabilités conditionnelles et indépendance — exercices corrigés Terminale

Dix exercices pour réviser probabilités conditionnelles et indépendance et leurs corrigés.

L'essentiel à retenir

  • P(A∩B)=P(A)PA(B)P(A\cap B)=P(A)P_A(B).
  • La formule des probabilités totales utilise une partition.
  • L'indépendance signifie P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B).

Exercice 1 — Intersection dans un arbre

P(A)=0,4P(A)=0{,}4, PA(B)=0,7P_A(B)=0{,}7. Calculer P(A∩B)P(A\cap B).
Corrigé détaillé
La formule des probabilités conditionnelles donne P(A∩B)=P(A)PA(B)=0,4×0,7=0,28P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=0{,}4\times0{,}7=\boxed{0{,}28}.

Exercice 2 — Probabilité totale

P(A)=0,3P(A)=0{,}3, PA(B)=0,8P_A(B)=0{,}8 et PA‾(B)=0,2P_{\overline A}(B)=0{,}2. Déterminer P(B)P(B).
Corrigé détaillé
En séparant selon AA et son complémentaire : P(B)=0,3×0,8+0,7×0,2=0,24+0,14=0,38P(B)=0{,}3\times0{,}8+0{,}7\times0{,}2=0{,}24+0{,}14=\boxed{0{,}38}.

Exercice 3 — Conditionnement inverse

Avec les données précédentes, calculer PB(A)P_B(A).
Corrigé détaillé
P(A∩B)=0,24P(A\cap B)=0{,}24 et P(B)=0,38P(B)=0{,}38. Alors PB(A)=0,24/0,38=12/19P_B(A)=0{,}24/0{,}38=\boxed{12/19}, soit environ 0,6316.

Exercice 4 — Vérifier l'indépendance

P(A)=0,5P(A)=0{,}5, P(B)=0,2P(B)=0{,}2, P(A∩B)=0,1P(A\cap B)=0{,}1. Sont-ils indépendants ?
Corrigé détaillé
P(A)P(B)=0,5×0,2=0,1P(A)P(B)=0{,}5\times0{,}2=0{,}1, égal à P(A∩B)P(A\cap B). Les événements AA et BB sont donc indépendants.

Exercice 5 — Réunion incompatible

AA et BB sont incompatibles, P(A)=0,25P(A)=0{,}25, P(B)=0,4P(B)=0{,}4. Calculer P(A∪B)P(A\cup B).
Corrigé détaillé
P(A∩B)=0P(A\cap B)=0 car ils sont incompatibles. Donc P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,65P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\boxed{0{,}65}.

Exercice 6 — Test médical

Une maladie touche 1 %, le test détecte 90 % des malades et est positif pour 5 % des personnes saines. Calculer la probabilité d'être malade si le test est positif.
Corrigé détaillé
P(M∩T)=0,01×0,9=0,009P(M\cap T)=0{,}01\times0{,}9=0{,}009, tandis que P(T)=0,009+0,99×0,05=0,0585P(T)=0{,}009+0{,}99\times0{,}05=0{,}0585. Alors PT(M)=0,009/0,0585=2/13≈15,38%P_T(M)=0{,}009/0{,}0585=\boxed{2/13}\approx15{,}38\%.

Exercice 7 — Défauts de production

Une usine produit 60 % de pièces de type A, défectueuses à 2 %, et 40 % de type B, défectueuses à 5 %. Trouver le taux global de défaut.
Corrigé détaillé
La formule totale donne P(D)=0,6×0,02+0,4×0,05=0,012+0,02=0,032P(D)=0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05=0{,}012+0{,}02=\boxed{0{,}032}, soit 3,2 %.

Exercice 8 — Origine d'une pièce

Avec les données de l'usine, déterminer la probabilité qu'une pièce défectueuse soit de type B.
Corrigé détaillé
P(B∩D)=0,4×0,05=0,02P(B\cap D)=0{,}4\times0{,}05=0{,}02. On sait P(D)=0,032P(D)=0{,}032. Donc PD(B)=0,02/0,032=0,625P_D(B)=0{,}02/0{,}032=\boxed{0{,}625}.

Exercice 9 — Complément et indépendance

Si AA et BB sont indépendants, prouver que AA et B‾\overline B sont indépendants.
Corrigé détaillé
P(A∩B‾)=P(A)−P(A∩B)=P(A)(1−P(B))=P(A)P(B‾)P(A\cap\overline B)=P(A)-P(A\cap B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\overline B). Cette égalité prouve l'indépendance.

Exercice 10 — Tirages sans remise

Une urne contient trois rouges et deux bleues. On tire deux boules sans remise. Calculer la probabilité de deux rouges puis exactement une rouge.
Corrigé détaillé
P(RR)=3/5×2/4=3/10P(RR)=3/5\times2/4=\boxed{3/10}. Pour exactement une rouge, on additionne P(RB)=3/5×2/4P(RB)=3/5\times2/4 et P(BR)=2/5×3/4P(BR)=2/5\times3/4, soit 3/10+3/10=3/53/10+3/10=\boxed{3/5}.

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