Première spécialité maths

Probabilités conditionnelles et indépendance — 10 exercices corrigés Première spé

Travaillez probabilités conditionnelles et indépendance à travers dix exercices de difficulté progressive, avec corrigés.

L'essentiel à retenir

$P_A(B)=P(A\cap B)/P(A)$ lorsque $P(A)>0$ .
$P(B)=P(A)P_A(B)+P(\bar A)P_{\bar A}(B)$ .
L'indépendance s'écrit $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .

Exercice 1 — Intersection dans un arbre

On sait

P(A)=0{,}4

P_A(B)=0{,}7

. Calculer

P(A\cap B)

et interpréter.

Corrigé détaillé

1. On utilise

P(A\cap B)=P(A)P_A(B)

. 2. Le produit vaut

0{,}4\times0{,}7=\boxed{0{,}28}

. 3. Dans un arbre, 0,28 est le produit des probabilités des branches successives

A

puis

B

Exercice 2 — Probabilité totale

P(A)=0{,}3

P_A(B)=0{,}8

P_{\bar A}(B)=0{,}2

. Calculer

P(B)

Corrigé détaillé

1. L'ensemble est partagé en

A

\bar A

, de probabilité 0,7. 2. La formule totale donne

P(B)=0{,}3\times0{,}8+0{,}7\times0{,}2

. 3. Donc

P(B)=0{,}24+0{,}14=\boxed{0{,}38}

Exercice 3 — Probabilité a posteriori

Avec les données de l'exercice précédent, calculer

P_B(A)

Corrigé détaillé

P(A\cap B)=0{,}3\times0{,}8=0{,}24

. 2. On connaît

P(B)=0{,}38

. 3.

P_B(A)=P(A\cap B)/P(B)=0{,}24/0{,}38=\boxed{12/19}\approx0{,}6316

Exercice 4 — Tester l'indépendance

Deux événements vérifient

P(A)=0{,}6

P(B)=0{,}5

P(A\cap B)=0{,}3

. Sont-ils indépendants ?

Corrigé détaillé

1. Calculons le produit des probabilités :

P(A)P(B)=0{,}6\times0{,}5=0{,}3

. 2. Il coïncide avec

P(A\cap B)

. 3. Par définition, les événements sont indépendants ; ils ne sont pas incompatibles puisque leur intersection a une probabilité non nulle.

Exercice 5 — Incompatibilité versus indépendance

Deux événements incompatibles ont

P(A)=0{,}2

P(B)=0{,}4

. Calculer

P(A\cup B)

et décider s'ils sont indépendants.

Corrigé détaillé

1. L'incompatibilité implique

P(A\cap B)=0

. 2. Donc

P(A\cup B)=0{,}2+0{,}4=\boxed{0{,}6}

. 3. Pourtant

P(A)P(B)=0{,}08\ne0

: ils ne sont pas indépendants.

Exercice 6 — Situation de production

Une usine fabrique 70 % de pièces sur machine A (2 % défectueuses) et 30 % sur B (5 % défectueuses). Calculer la probabilité de défaut.

Corrigé détaillé

1. Notons

D

le défaut. 2.

P(D)=P(A)P_A(D)+P(B)P_B(D)=0{,}7\times0{,}02+0{,}3\times0{,}05

. 3.

P(D)=0{,}014+0{,}015=\boxed{0{,}029}

, soit 2,9 %.

Exercice 7 — Remonter à la machine

Dans l'usine précédente, une pièce est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de B.

Corrigé détaillé

P(B\cap D)=0{,}3\times0{,}05=0{,}015

. 2. La probabilité totale donne

P(D)=0{,}029

. 3.

P_D(B)=0{,}015/0{,}029=\boxed{15/29}\approx0{,}5172

. Une pièce défectueuse a donc plus d'une chance sur deux de venir de B.

Exercice 8 — Tirages successifs

Une urne contient 4 boules rouges et 3 bleues ; on tire deux boules sans remise. Calculer la probabilité d'obtenir deux rouges.

Corrigé détaillé

P(R_1)=4/7

. 2. Une rouge étant retirée,

P_{R_1}(R_2)=3/6

. 3. Par multiplication le long du chemin,

P(R_1\cap R_2)=4/7\times3/6=\boxed{2/7}

Exercice 9 — Au moins une boule bleue

Dans la même urne, calculer la probabilité d'obtenir au moins une bleue en deux tirages sans remise.

Corrigé détaillé

1. Le complément est « deux rouges ». 2. On connaît

P(RR)=2/7

. 3. Donc

P(\text{au moins une bleue})=1-2/7=\boxed{5/7}

. La méthode du complément évite de traiter trois chemins séparés.

Exercice 10 — Indépendance d'un complément

Montrer que si

A

B

sont indépendants, alors

A

\bar B

le sont aussi.

Corrigé détaillé

P(A\cap\bar B)=P(A)-P(A\cap B)

. 2. L'indépendance donne

P(A\cap B)=P(A)P(B)

. 3. Par factorisation,

P(A\cap\bar B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\bar B)

; c'est la condition d'indépendance.

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