Terminale spécialité maths

Primitives et équations différentielles : 10 exercices corrigés Terminale

Révisez primitives et équations différentielles : dix exercices de difficulté progressive, accompagnés de corrections.

L'essentiel à retenir

  • Une primitive FF de ff vérifie F′=fF'=f.
  • La solution générale de y′=ayy'=ay est y=Ceaxy=Ce^{ax}.
  • Pour y′=ay+by'=ay+b avec a≠0a\ne0, les solutions sont y=Ceax−b/ay=Ce^{ax}-b/a.

Exercice 1 — Primitive d'un polynôme

Trouver la primitive de f(x)=6x2−4x+3f(x)=6x^2-4x+3 vérifiant F(0)=2F(0)=2.
Corrigé détaillé
Une primitive générale est F(x)=2x3−2x2+3x+CF(x)=2x^3-2x^2+3x+C. La condition F(0)=C=2F(0)=C=2 impose F(x)=2x3−2x2+3x+2\boxed{F(x)=2x^3-2x^2+3x+2}. On vérifie en dérivant.

Exercice 2 — Primitive d'une exponentielle

Trouver les primitives de f(x)=3e3xf(x)=3e^{3x} puis celle qui s'annule en 00.
Corrigé détaillé
Puisque (e3x)′=3e3x(e^{3x})'=3e^{3x}, les primitives sont F(x)=e3x+CF(x)=e^{3x}+C. La condition F(0)=0F(0)=0 donne 1+C=01+C=0, soit C=−1C=-1. On obtient F(x)=e3x−1\boxed{F(x)=e^{3x}-1}.

Exercice 3 — Primitive d'un quotient

Sur x>0x>0, déterminer une primitive de f(x)=2/xf(x)=2/x puis vérifier sa dérivée.
Corrigé détaillé
On sait que (ln⁡x)′=1/x(\ln x)'=1/x pour x>0x>0. Par linéarité, une primitive est F(x)=2ln⁡x+CF(x)=2\ln x+C. La dérivée de 2ln⁡x+C2\ln x+C est bien 2/x2/x. Le domaine strictement positif permet d'éviter la valeur absolue.

Exercice 4 — Équation homogène

Résoudre y′=2yy'=2y puis déterminer la solution y(0)=3y(0)=3.
Corrigé détaillé
L'équation y′=ayy'=ay a pour solutions y(x)=Ceaxy(x)=Ce^{ax}. Ici y=Ce2xy=Ce^{2x}. La condition y(0)=C=3y(0)=C=3 fournit y(x)=3e2x\boxed{y(x)=3e^{2x}}. Vérification : y′=6e2x=2yy'=6e^{2x}=2y.

Exercice 5 — Équation affine

Résoudre y′=2y+4y'=2y+4 avec y(0)=0y(0)=0.
Corrigé détaillé
La solution constante est yp=−2y_p=-2 puisque 0=2(−2)+40=2(-2)+4. Les solutions sont y=Ce2x−2y=Ce^{2x}-2. Avec y(0)=0y(0)=0, C=2C=2. Ainsi y=2e2x−2\boxed{y=2e^{2x}-2} ; sa dérivée satisfait bien l'équation.

Exercice 6 — Décroissance exponentielle

Une quantité vérifie y′=−0,1yy'=-0{,}1y et y(0)=100y(0)=100. Trouver y(t)y(t), sa limite et le temps de demi-vie.
Corrigé détaillé
La solution générale est y(t)=Ce−0,1ty(t)=Ce^{-0{,}1t}. La condition initiale fixe C=100C=100. Donc y(t)=100e−0,1ty(t)=100e^{-0{,}1t}, qui tend vers 0. La demi-vie vérifie e−0,1t=1/2e^{-0{,}1t}=1/2, d'où t=10ln⁡2t=10\ln2.

Exercice 7 — Condition initiale en un point

Résoudre y′=−3yy'=-3y sachant que y(1)=2y(1)=2.
Corrigé détaillé
Une solution s'écrit y(x)=Ce−3xy(x)=Ce^{-3x}. La condition Ce−3=2Ce^{-3}=2 donne C=2e3C=2e^3. D'où y(x)=2e−3(x−1)\boxed{y(x)=2e^{-3(x-1)}}. À x=1x=1, on retrouve 2 ; la dérivée vaut bien −3y-3y.

Exercice 8 — Équation avec forçage

Résoudre y′=y−5y'=y-5 avec y(0)=2y(0)=2.
Corrigé détaillé
Une solution particulière constante est yp=5y_p=5, car 0=5−50=5-5. Les solutions générales sont y=5+Cexy=5+Ce^x. En 00, 2=5+C2=5+C, donc C=−3C=-3. La solution est y(x)=5−3ex\boxed{y(x)=5-3e^x}.

Exercice 9 — Primitive trigonométrique

Trouver la primitive de f(x)=2cos⁡(2x)f(x)=2\cos(2x) nulle en x=0x=0.
Corrigé détaillé
La dérivée de sin⁡(2x)\sin(2x) est 2cos⁡(2x)2\cos(2x). Ainsi les primitives sont sin⁡(2x)+C\sin(2x)+C. La condition F(0)=0F(0)=0 impose C=0C=0. La primitive demandée est F(x)=sin⁡(2x)\boxed{F(x)=\sin(2x)}.

Exercice 10 — Équation différentielle et équilibre

Résoudre y′=−2(y−4)y'=-2(y-4) pour y(0)=1y(0)=1, puis déterminer la limite de y(t)y(t).
Corrigé détaillé
Posons z=y−4z=y-4. Alors z′=−2zz'=-2z et z(t)=Ce−2tz(t)=Ce^{-2t}. Comme z(0)=1−4=−3z(0)=1-4=-3, C=−3C=-3. Ainsi y(t)=4−3e−2t\boxed{y(t)=4-3e^{-2t}} et y(t)→4y(t)\to4 quand t→+∞t\to+\infty. Cette limite est l'état d'équilibre.

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