Première non-spécialité

Fonctions du second degré : racines et signe — 10 exercices corrigés

Dix exercices progressifs du programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique de Première générale. Chaque énoncé propose trois questions séparées et un corrigé détaillé en trois étapes.

L'essentiel à retenir

  • La forme factorisée a(x−r)(x−s)a(x-r)(x-s) permet de lire les racines.
  • Le signe d'un trinôme de coefficient positif est négatif entre deux racines distinctes.
  • Le discriminant n'est pas requis dans ce programme.

Exercice 1 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°1

1. La fonction est f(x)=1(x−1)(x−3)f(x)=1(x-1)(x-3). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 1.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=1x=1 ou x=3x=3 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 11 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[1;3]\boxed{x\in[1;3]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

Exercice 2 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°2

1. La fonction est f(x)=2(x−2)(x−5)f(x)=2(x-2)(x-5). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 2.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=2x=2 ou x=5x=5 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 22 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[2;5]\boxed{x\in[2;5]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

Exercice 3 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°3

1. La fonction est f(x)=3(x−3)(x−7)f(x)=3(x-3)(x-7). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 3.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=3x=3 ou x=7x=7 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 33 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[3;7]\boxed{x\in[3;7]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

Exercice 4 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°4

1. La fonction est f(x)=4(x−1)(x−3)f(x)=4(x-1)(x-3). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 4.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=1x=1 ou x=3x=3 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 44 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[1;3]\boxed{x\in[1;3]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

Exercice 5 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°5

1. La fonction est f(x)=1(x−2)(x−5)f(x)=1(x-2)(x-5). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 1.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=2x=2 ou x=5x=5 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 11 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[2;5]\boxed{x\in[2;5]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

Exercice 6 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°6

1. La fonction est f(x)=2(x−3)(x−7)f(x)=2(x-3)(x-7). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 2.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=3x=3 ou x=7x=7 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 22 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[3;7]\boxed{x\in[3;7]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

Exercice 7 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°7

1. La fonction est f(x)=3(x−1)(x−3)f(x)=3(x-1)(x-3). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 3.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=1x=1 ou x=3x=3 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 33 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[1;3]\boxed{x\in[1;3]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

Exercice 8 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°8

1. La fonction est f(x)=4(x−2)(x−5)f(x)=4(x-2)(x-5). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 4.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=2x=2 ou x=5x=5 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 44 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[2;5]\boxed{x\in[2;5]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

Exercice 9 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°9

1. La fonction est f(x)=1(x−3)(x−7)f(x)=1(x-3)(x-7). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 1.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=3x=3 ou x=7x=7 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 11 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[3;7]\boxed{x\in[3;7]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

Exercice 10 — Signe d'une fonction quadratique factorisée — n°10

1. La fonction est f(x)=2(x−1)(x−3)f(x)=2(x-1)(x-3). Déterminer ses deux racines. 2. Étudier le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R. 3. Résoudre f(x)≤0f(x)\le0 et expliquer le rôle du coefficient 2.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Un produit nul impose x=1x=1 ou x=3x=3 : ce sont les racines. Étape 2 — Effectuer le calcul. Le coefficient 22 est positif ; le produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Étape 3 — Interpréter le résultat. Le trinôme est négatif ou nul pour x∈[1;3]\boxed{x\in[1;3]}. Les bornes sont incluses car on cherche ≤0\le0. Aucun calcul de discriminant n'est nécessaire.

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