Université L1 / enseignement supérieur

Polynômes et fractions rationnelles : exercices corrigés L1

Cette fiche couvre les techniques utiles en algèbre et pour le calcul des primitives : division euclidienne des polynômes, factorisation sur les réels et les complexes, puis décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples.

L'essentiel à retenir

  • Pour A,B∈K[X]A,B\in\mathbb K[X] et B≠0B\ne0, il existe des polynômes uniques Q,RQ,R tels que A=BQ+RA=BQ+R et deg⁡R<deg⁡B\deg R<\deg B.
  • Le théorème du facteur dit que aa est racine de PP si et seulement si (X−a)(X-a) divise PP.
  • Sur C\mathbb C, un polynôme non constant se factorise en facteurs linéaires ; sur R\mathbb R, les facteurs irréductibles ont degré 11 ou 22.
  • Une fraction rationnelle propre se décompose en éléments simples après factorisation du dénominateur (en respectant le corps choisi).
  • Une décomposition peut faciliter le calcul de primitives sur chaque intervalle où les dénominateurs ne s’annulent pas.

Exercice 1 — Division euclidienne

Effectuer la division de P(X)=X3−2X2+X−2P(X)=X^3-2X^2+X-2 par X−2X-2.
  1. Calculer le quotient et le reste.
  2. En déduire une factorisation de PP sur R\mathbb R.
Corrigé détaillé
1. Division. X3/X=X2X^3/X=X^2. On soustrait X2(X−2)=X3−2X2X^2(X-2)=X^3-2X^2 : il reste X−2X-2. Puis (X−2)/(X−2)=1(X-2)/(X-2)=1. Il reste 00. Donc P=(X−2)(X2+1)+0P=(X-2)(X^2+1)+0 : Q=X2+1Q=X^2+1 et R=0R=0. 2. Sur R\mathbb R, X2+1X^2+1 est irréductible car son discriminant vaut −4<0-4<0. La factorisation réelle est (X−2)(X2+1)\boxed{(X-2)(X^2+1)}.

Exercice 2 — Factorisation sur les réels et les complexes

Soit P(X)=X4−1P(X)=X^4-1.
  1. Factoriser PP dans R[X]\mathbb R[X] en facteurs irréductibles.
  2. Déterminer toutes ses racines dans C\mathbb C.
  3. Donner la factorisation dans C[X]\mathbb C[X].
Corrigé détaillé
1. Différence de deux carrés. X4−1=(X2−1)(X2+1)=(X−1)(X+1)(X2+1)X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)(X+1)(X^2+1). Le dernier facteur est irréductible sur R\mathbb R. 2. Les racines sont 1,−1,i,−i1,-1,i,-i. 3. La factorisation complexe complète est P(X)=(X−1)(X+1)(X−i)(X+i)\boxed{P(X)=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)}.

Exercice 3 — Éléments simples et primitive

Sur R∖{−1,0}\mathbb R\setminus\{-1,0\}, on considère R(x)=2x+3x(x+1).R(x)=\frac{2x+3}{x(x+1)}.
  1. Chercher A,BA,B tels que R(x)=Ax+Bx+1R(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
  2. Donner une primitive de RR sur chacun des intervalles de définition.
Corrigé détaillé
1. Identification. 2x+3=A(x+1)+Bx=(A+B)x+A2x+3=A(x+1)+Bx=(A+B)x+A. Donc A=3A=3 et A+B=2A+B=2, d’où B=−1B=-1. Ainsi R(x)=3/x−1/(x+1)\boxed{R(x)=3/x-1/(x+1)}. 2. Primitives. Sur chacun des intervalles ]−∞,−1[]-\infty,-1[, ]−1,0[]-1,0[ et ]0,+∞[]0,+\infty[, une primitive vaut F(x)=3ln⁡∣x∣−ln⁡∣x+1∣+C\boxed{F(x)=3\ln|x|-\ln|x+1|+C}. La constante CC peut être différente d’un intervalle à l’autre.

Exercice 4 — Racine simple et quotient

Soit P(X)=X3−4X2+X+6P(X)=X^3-4X^2+X+6. Montrer que 22 est racine, diviser PP par X−2X-2 puis factoriser complètement PP sur R\mathbb R.
Corrigé détaillé
1. P(2)=8−16+2+6=0P(2)=8-16+2+6=0 : X−2X-2 divise PP. 2. La division donne P=(X−2)(X2−2X−3)P=(X-2)(X^2-2X-3). 3. Le trinôme vaut (X−3)(X+1)(X-3)(X+1) ; ainsi P=(X−2)(X−3)(X+1)\boxed{P=(X-2)(X-3)(X+1)}. La vérification par multiplication retrouve le polynôme initial.

Exercice 5 — Divisions successives

Pour P(X)=X4−5X2+4P(X)=X^4-5X^2+4, poser Y=X2Y=X^2 et résoudre P(X)=0P(X)=0. Donner la factorisation dans R[X]\mathbb R[X].
Corrigé détaillé
1. Avec Y=X2Y=X^2, l'équation devient Y2−5Y+4=0=(Y−1)(Y−4)Y^2-5Y+4=0=(Y-1)(Y-4). 2. Les possibilités sont X2=1X^2=1 ou X2=4X^2=4. Les racines réelles sont ±1,±2\pm1,\pm2. 3. Par suite P=(X−1)(X+1)(X−2)(X+2)P=(X-1)(X+1)(X-2)(X+2). Le degré total de la factorisation est bien quatre.

Exercice 6 — Racine multiple

Soit P(X)=(X−1)2(X+2)P(X)=(X-1)^2(X+2). Développer PP, calculer P′(1)P'(1) et expliquer la multiplicité de la racine 11.
Corrigé détaillé
1. (X−1)2(X+2)=(X2−2X+1)(X+2)=X3−3X+2(X-1)^2(X+2)=(X^2-2X+1)(X+2)=X^3-3X+2. 2. P′(X)=3X2−3P'(X)=3X^2-3, donc P′(1)=0P'(1)=0, et P(1)=0P(1)=0. 3. Le facteur (X−1)2(X-1)^2 montre que 11 est racine double ; P′′(1)=6≠0P''(1)=6\ne0 confirme la multiplicité exacte égale à deux.

Exercice 7 — Division avec reste

Diviser P(X)=X3+2X+1P(X)=X^3+2X+1 par D(X)=X2+1D(X)=X^2+1 ; identifier quotient et reste et vérifier l'identité de division.
Corrigé détaillé
1. Le terme dominant impose le quotient initial XX. 2. Soustraire X(X2+1)=X3+XX(X^2+1)=X^3+X laisse X+1X+1, de degré strictement inférieur à deux. 3. On a P(X)=X(X2+1)+(X+1)\boxed{P(X)=X(X^2+1)+(X+1)}. Le quotient est donc Q=XQ=X et le reste R=X+1R=X+1, uniques.

Exercice 8 — Éléments simples et primitive

Décomposer R(x)=5x+1x(x+1)R(x)=\dfrac{5x+1}{x(x+1)} en éléments simples, puis trouver une primitive sur x>0x>0.
Corrigé détaillé
1. Poser R=A/x+B/(x+1)R=A/x+B/(x+1) ; le numérateur est (A+B)x+A(A+B)x+A. 2. Identifier A=1A=1 et A+B=5A+B=5, donc B=4B=4. 3. Ainsi R=1/x+4/(x+1)R=1/x+4/(x+1) et une primitive sur ]0,+∞[]0,+\infty[ est F(x)=ln⁡x+4ln⁡(x+1)+C\boxed{F(x)=\ln x+4\ln(x+1)+C}. Sa dérivée redonne RR.

Exercice 9 — Identité de Bézout simple

Dans R[X]\mathbb R[X], soient P=X−1P=X-1 et Q=X+1Q=X+1. Trouver A,BA,B constants tels que AP+BQ=1AP+BQ=1, puis déduire leur PGCD.
Corrigé détaillé
1. Cherchons A=aA=a, B=bB=b : a(X−1)+b(X+1)=(a+b)X+(−a+b)a(X-1)+b(X+1)=(a+b)X+(-a+b). 2. Il faut a+b=0a+b=0 et −a+b=1-a+b=1. D'où b=1/2b=1/2, a=−1/2a=-1/2. 3. L'identité −12(X−1)+12(X+1)=1-\frac12(X-1)+\frac12(X+1)=1 montre que gcd⁡(P,Q)=1\gcd(P,Q)=1.

Exercice 10 — Factorisation réelle d'un polynôme

Factoriser P(X)=X4+4P(X)=X^4+4 sur R\mathbb R en utilisant une différence de carrés, puis expliquer pourquoi les facteurs quadratiques sont irréductibles.
Corrigé détaillé
1. X4+4=(X2+2)2−(2X)2X^4+4=(X^2+2)^2-(2X)^2. 2. D'où P=(X2−2X+2)(X2+2X+2)\boxed{P=(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)}. 3. Le discriminant de chacun des deux facteurs est (−2)2−8=−4<0(-2)^2-8=-4<0 ou 22−8=−4<02^2-8=-4<0 : ils sont irréductibles sur R\mathbb R.

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