Première non-spécialité

Modélisation quadratique : sommet et maximum — 10 exercices corrigés

Dix exercices progressifs du programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique de Première générale. Chaque énoncé propose trois questions séparées et un corrigé détaillé en trois étapes.

L'essentiel à retenir

  • La parabole associée à −a(x−h)2+H-a(x-h)^2+H avec a>0a>0 possède un maximum HH en x=hx=h.
  • La forme canonique permet de lire le sommet.
  • Dans un contexte, il faut respecter l'intervalle de définition.

Exercice 1 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 1

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−2(t−2)2+20h(t)=-2(t-2)^2+20 pour 0≤t≤40\le t\le4. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=4t=4 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−2)2≥0(t-2)^2\ge0, on a −2(t−2)2≤0-2(t-2)^2\le0 et donc h(t)≤20h(t)\le20. La valeur maximale est 20\boxed{20}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=2\boxed{t=2}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=4t=4, le carré vaut 4 ; h(4)=20−4×2=12h(4)=20-4\times2=\boxed{12}, strictement inférieur à 20.

Exercice 2 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 2

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−3(t−3)2+23h(t)=-3(t-3)^2+23 pour 0≤t≤60\le t\le6. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=5t=5 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−3)2≥0(t-3)^2\ge0, on a −3(t−3)2≤0-3(t-3)^2\le0 et donc h(t)≤23h(t)\le23. La valeur maximale est 23\boxed{23}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=3\boxed{t=3}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=5t=5, le carré vaut 4 ; h(5)=23−4×3=11h(5)=23-4\times3=\boxed{11}, strictement inférieur à 23.

Exercice 3 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 3

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−4(t−4)2+26h(t)=-4(t-4)^2+26 pour 0≤t≤80\le t\le8. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=6t=6 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−4)2≥0(t-4)^2\ge0, on a −4(t−4)2≤0-4(t-4)^2\le0 et donc h(t)≤26h(t)\le26. La valeur maximale est 26\boxed{26}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=4\boxed{t=4}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=6t=6, le carré vaut 4 ; h(6)=26−4×4=10h(6)=26-4\times4=\boxed{10}, strictement inférieur à 26.

Exercice 4 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 4

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−5(t−5)2+29h(t)=-5(t-5)^2+29 pour 0≤t≤100\le t\le10. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=7t=7 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−5)2≥0(t-5)^2\ge0, on a −5(t−5)2≤0-5(t-5)^2\le0 et donc h(t)≤29h(t)\le29. La valeur maximale est 29\boxed{29}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=5\boxed{t=5}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=7t=7, le carré vaut 4 ; h(7)=29−4×5=9h(7)=29-4\times5=\boxed{9}, strictement inférieur à 29.

Exercice 5 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 5

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−2(t−6)2+32h(t)=-2(t-6)^2+32 pour 0≤t≤120\le t\le12. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=8t=8 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−6)2≥0(t-6)^2\ge0, on a −2(t−6)2≤0-2(t-6)^2\le0 et donc h(t)≤32h(t)\le32. La valeur maximale est 32\boxed{32}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=6\boxed{t=6}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=8t=8, le carré vaut 4 ; h(8)=32−4×2=24h(8)=32-4\times2=\boxed{24}, strictement inférieur à 32.

Exercice 6 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 6

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−3(t−2)2+35h(t)=-3(t-2)^2+35 pour 0≤t≤40\le t\le4. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=4t=4 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−2)2≥0(t-2)^2\ge0, on a −3(t−2)2≤0-3(t-2)^2\le0 et donc h(t)≤35h(t)\le35. La valeur maximale est 35\boxed{35}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=2\boxed{t=2}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=4t=4, le carré vaut 4 ; h(4)=35−4×3=23h(4)=35-4\times3=\boxed{23}, strictement inférieur à 35.

Exercice 7 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 7

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−4(t−3)2+38h(t)=-4(t-3)^2+38 pour 0≤t≤60\le t\le6. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=5t=5 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−3)2≥0(t-3)^2\ge0, on a −4(t−3)2≤0-4(t-3)^2\le0 et donc h(t)≤38h(t)\le38. La valeur maximale est 38\boxed{38}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=3\boxed{t=3}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=5t=5, le carré vaut 4 ; h(5)=38−4×4=22h(5)=38-4\times4=\boxed{22}, strictement inférieur à 38.

Exercice 8 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 8

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−5(t−4)2+41h(t)=-5(t-4)^2+41 pour 0≤t≤80\le t\le8. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=6t=6 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−4)2≥0(t-4)^2\ge0, on a −5(t−4)2≤0-5(t-4)^2\le0 et donc h(t)≤41h(t)\le41. La valeur maximale est 41\boxed{41}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=4\boxed{t=4}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=6t=6, le carré vaut 4 ; h(6)=41−4×5=21h(6)=41-4\times5=\boxed{21}, strictement inférieur à 41.

Exercice 9 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 9

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−2(t−5)2+44h(t)=-2(t-5)^2+44 pour 0≤t≤100\le t\le10. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=7t=7 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−5)2≥0(t-5)^2\ge0, on a −2(t−5)2≤0-2(t-5)^2\le0 et donc h(t)≤44h(t)\le44. La valeur maximale est 44\boxed{44}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=5\boxed{t=5}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=7t=7, le carré vaut 4 ; h(7)=44−4×2=36h(7)=44-4\times2=\boxed{36}, strictement inférieur à 44.

Exercice 10 — Maximum d'un modèle parabolique — étude 10

1. Une hauteur est modélisée par h(t)=−3(t−6)2+47h(t)=-3(t-6)^2+47 pour 0≤t≤120\le t\le12. Déterminer la hauteur maximale. 2. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ? 3. Calculer la hauteur à l'instant t=8t=8 et expliquer pourquoi elle est inférieure au maximum.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Identifier la méthode. Comme (t−6)2≥0(t-6)^2\ge0, on a −3(t−6)2≤0-3(t-6)^2\le0 et donc h(t)≤47h(t)\le47. La valeur maximale est 47\boxed{47}. Étape 2 — Effectuer le calcul. L'égalité se produit quand le carré est nul, soit à t=6\boxed{t=6}. C'est l'abscisse du sommet de la parabole. Étape 3 — Interpréter le résultat. À t=8t=8, le carré vaut 4 ; h(8)=47−4×3=35h(8)=47-4\times3=\boxed{35}, strictement inférieur à 47.

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